Molto più interessante è invece il procedimento inventato da Cantor per dimostrare che anche i numeri razionali sono numerabili;
Dimostrazione:Teorema 1.7.3. L’insieme dei numeri naturali non si può mettere in corrispondenza biunivoca con i numeri reali dell’intervallo A=
Da questo teorema discende immediatamente che i numeri reali non sono numerabili; si dirà che un insieme ha la potenza del continuo se può essere messo in corrispondenza
biunivoca con l'insieme dei numeri reali.
E' noto che l'insieme delle parti P(A) di un insieme A di n elementi, ha 2n elementi; Cantor mostrò che per un insieme infinito A, l'insieme delle parti P(A) non può essere messo in corrispondenza biunivoca con A; quindi P(A) ha una cardinalità infinita e maggiore di A.
Si può dimostrare che la cardinalità di P(ℕ) (anche indicata con 2ℵ0) è pari a quella di ℝ, la cardinalità del continuo.
Cantor si spinse così oltre; introducendo i numeri transfiniti: il più piccolo numero cardinale transfinito è Aleph-zero ℵ0 (la cardinalità del numerabile), seguito da Aleph-uno ℵ1.
Quindi oggi, in teoria degli insiemi, si trattano insiemi infiniti di ogni cardinalità anche non numerabile né continua. Per vario tempo è stata un problema l'ipotesi del continuo, secondo cui non esistono insiemi di cardinalità intermedia
tra quella del numerabile e quella del continuo.
Nel 1962 è stato dimostrato che questa ipotesi fa parte dei problemi indecidibili (in teoria degli insiemi non si può né negare né dedurre l'ipotesi del continuo a partire dagli altri assiomi).
Quindi l'accettazione o meno del fatto che ℵ1 sia la cardinalità del continuo ha portato la matematica a diramarsi ulteriormente; oggi la posizione più comune assume per vera l'ipotesi del contiuo.
