L’inﬁnito e la sua storia

E’ risaputo che la visione greca del mondo fosse basata su concetti come l’armonia, la proporzione, l’equilibrio, la perfezione, la determinatezza e la razionalità; questa visione rende quindi particolarmente problematici l’accettazione e l’utilizzo del concetto di inﬁnito. La parola greca per inﬁnito, apeiron (apeiron), e cioè, letteralmente, senza limite, ha un costrutto tipicamente negativo (la lettera iniziale a- nega ciò che segue), con un senso di senza forma, senza deﬁnizione. Per trattare questo concetto i greci hanno preferito adottarne due diverse concezioni: quella “potenziale” e quella “attuale”.
Questa distinzione si deve in primo luogo ad Aristotele: l’inﬁnito attuale è qualcosa di completo e compiuto, costituito da inﬁniti elementi, in contrapposizione all’inﬁnito potenziale che è qualcosa di non completo a cui possono essere sempre aggiunti elementi ma in numero ﬁnito. Si avrà poi un riﬁuto del concetto di inﬁnito attuale, mentre una accettazione del concetto di inﬁnito potenziale come processo di ecceterazione (cioè come possibilità di “andare sempre oltre”, ma facendo passi “ﬁniti”). Facciamo un esempio; l’insieme dei numeri naturali era considerato un inﬁnito potenziale, infatti ﬁssato qualsiasi numero naturale ne posso sempre trovare uno maggiore di esso (basta aggiungere 1) ma non posso coglierne il senso in toto, cioè non posso parlarne come di un inﬁnito attuale. Queste concezioni di inﬁnito furono concepite anche per superare le diﬃcoltà poste da alcuni ben noti problemi, che non tardarono ad emergere e che ora esamineremo; tratteremo del problema dei segmenti incommensurabili, scoperti dai Pitagorici, dei paradossi di Zenone e del problema della rettiﬁcazione del cerchio.