Definizione 1.1 ( grandezze commensurabili). Date due grandezze omogenee, queste si dicono commensurabili se esiste una grandezza omogenea alle prime due e tale che è contenuta un numero intero di volte in entrambe.
Per Pitagora tutto era costituito da corpuscoli uguali tra loro e anche i punti,
seppur piccoli, avevano una loro dimensione; ne discendeva allora che i segmenti
erano costituiti da un numero finito di punti e che quindi ogni coppia di segmenti
dovesse essere tra loro commensurabile, con, come grandezza contenuta in
entrambi, il punto.
Purtroppo però, una applicazione del teorema di Pitagora ad un triangolo
rettangolo iscoscele mostrerà l’incommensurabilità tra diagonale e lato di
un quadrato. Prima di dimostrare il teorema enunciamo e proviamo un
lemma:
Teorema 1.1.2 (Teorema di incommensurabilità). Lato e diagonale di un quadrato sono segmenti incommensurabili.
Questi teoremi, che oggi potremmo considerare come prova della necessità dell’introduzione dei numeri irrazionali, crearono non pochi problemi al concetto di infinito per i greci; infatti provando “geometricamente e manualmente” a riportare sulla diagonale il lato si otteneva un rapporto fra grandezze che poteva essere infinitamente approssimato, non era attuale.
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