La teoria degli insiemi, con il suo uso dell'infinito in atto, si portò dietro non pochi problemi; i più conosciuti sono l'antinomia di Cantor e quella di Russel, che adesso enunceremo brevemente.
Antinomia di Russel: se ,
allora ;
cioè l’insieme di tutti gli insiemi che non appartengono a sé stessi, appartiene a
sé stesso se e solo se non appartiene a sé stesso.
Antinomia di Cantor: Si consideri la totalità degli insiemi, la ”classe totale”
, ovvero l’insieme di
tutti gli insiemi. Sia poi
l’insieme delle parti di ;
allora dovrebbe avere
potenza maggiore di , ma
essendo l’insieme di tutti
gli insiemi, esso contiene
come suo sottoinsieme, quindi
non potrebbe avere cardinalità maggiore di quella di
.
Iniziò così una crisi dei fondamenti della matematica (che si era cercata di fondare sulla teoria degli insiemi), che portò alla nascita e allo sviluppo di vari settori (in toeria degli insiemi ed in logica matematica), che in modi diversi posero rimedio alle contraddizioni che sorgevano ( per esempio grazie a Gödel e Cohen).
Il metodo assiomatico moderno che portò così alla creazione di rami diversi della matematica e anche a possibili logiche matematiche diverse.
Questa che abbiamo brevemente ripercorso è una piccola storia dell'infinito dai tempi più antichi ad oggi; si vede come questo concetto sia strettamente legato a come si intende la matematica. Oggi nessuno si fa problemi ad utilizzare l'infinito potenziale
in limiti e derivate, e ad utilizzare l'infinito attuale nella cardinalità degli insiemi.
Nonostante questo, i dibattiti sul ruolo, la giustificazone, l'utilizzo o meno e la validità del concetto di infinito sono tutt'ora aperti; l'unica cosa certa e riconosciuta da tutti è la centralità del ruolo
che l'infinito ha avuto e ha tutt'ora nella matematica.
