2.0.2 La matematica dei frattali

Misura e dimensione di Hausdorff

Definizione 2.3. α ,α 0 definiamo

dove Γ è la funzione gamma di Eulero definita per s > 0:

Si può osservare che wα è una costante dimensionale che dipende solo da α e nel caso in cui α sia un numero intero positivo: wα = misura di Lebesgue α dimensionale del disco unitario.

Definizione 2.4. Per ogni A n, A non vuoto, definiamo:
1)


2)


(dove con d(x,y) intendiamo la distanza euclidea tra x e y)

3)

α reale positivo

4) se A = definiamo mα(A) = 0

Per ogni A⊆ℝn fissato δ reale positivo, si chiama δ ricoprimento di A una famiglia di sottoinsiemi di n t.c.:
i) a sia finito o numerabile
ii) diam(Bk)≤δ ∀ k ∈a
iii)

Definiamo inoltre:

Vale che se 0 < δ < δ, ogni δ-ricoprimento di A è anche un δ-ricoprimento di A e quindi , cioè se consideriamo la funzione

questa sarà monotona decrescente e di conseguenza avrà limite per δ0+.

Definizione 2.5. Si chiama allora misura di Hausdorff α-dimensionale:

Proposizione 2.0.4. Hαè una misura metrica rispetto alla distanza euclidea, cioè, valgono le seguenti proprietà:

1)
Hα() = 0

2)
Hα(A) Hα(B)   con   A B

3)
Hα   è subadditiva

4)

Definizione 2.6. Si dice che A n è un insieme Hα misurabile se per ogni E sottoinsieme di n vale che: Hα(E)=Hα(E∩A)+Hα(E∩AC)

In particolare si avrà che tutti gli insiemi aperti o chiusi di n sono Hα misurabili; inoltre vale che tutti gli insiemi An misurabili secondo Lebesgue, sono anche Hα misurabili e le due misure coincidono.
Mostriamo ora alcune proposizioni che ci permetteranno di dare la definizione di dimensione di Hausdorff.

Proposizione 2.0.5. Sia A n t.c. Hα(A) < per un opportuno α 0, allora vale che

Hα+t(A) = 0t > 0
Dimostrazione:

Proposizione 2.0.6. Per ogni A n vale che

Hn+t(A) = 0t > 0
Dimostrazione:

Definizione 2.7. Sia A n definiamo dimensione di Hausdorff di A, il numero reale non negativo

α(A) =  in{ s > 0 t.c. Hs(A) = 0}

Per quanto appena provato nelle proposizioni di cui sopra avrò che α(A) n e inoltre:

Proposizione 2.0.7. Sia A n, 0 < α(A), allora:


Dimostrazione:

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