2.0.4 Il pendolo caotico

Ultimo argomento legato alla teoria dei frattali è quello del pendolo caotico o magnetico; lo esporremo brevemente, a partire da un lavoro di tesi triennale dell'università di Padova di Marco Gorghetto, con relatore, il professor Francesco Fassò.
In questo approfondimento affronteremo due principali domande:

cosa è e come funziona un pendolo caotico ?
quale è il collegamento con la teoria dei frattali ?

Il termine caotico riporta alla teoria del caos ed alla definizione, anche se qualitativa, di quest ultimo e cioè ad un sistema molto sensibile a variazioni sui dati iniziali. Nonostante si parli di sistemi deterministici, una piccola perturbazione sui dati iniziali porta ed enormi differenze sulle situazioni successive, impedendo previsioni abbastanza certe a lungo termine; tutto questo viene spesso riassunto con il termine “ effetto a farfalla”.
Tutti conosceranno la famosa frase: “ Si dice che il minimo battito d'ali di una farfalla sia in grado di provocare un uragano dall'altra parte del mondo”.
Questa teoria, ha studiato molti fenomeni soprattutto inerenti alla natura o alla biologia (analogamente alle prime scoperte sui frattali) ed ha portato alla scoperta che, nello spazio delle fasi di questi sistemi dinamici, spesso si trovano caratteristiche di tipo frattale; con lo studio del pendolo magnetico, mostreremo in modo semplificato alcune di queste caratteristiche.

Cosa é e come funziona un pendolo caotico?

La sfera del pendolo é soggetta, oltre alle forze di attrazione esercitate dai 3 magneti puntiformi, anche da: forza di gravità, forza di attrito con l’aria e dissipazione interna al filo.
Si vogliono studiare le configurazioni di equilibrio asintoticamente stabile, per questo il pendolo si deve muovere ad una velocità piuttosto bassa; se la distanza tra il pendolo e il piano dei magneti rimane bassa, si puó notare che, col tempo, ci sono 3 posizioni di equilibrio asintoticamente stabile e queste coincidono coi 3 magneti.
Il pendolo magnetico, non è altro che un pendolo, la cui sfera è soggetta all'azione di 3 magneti posizionati in modo che corrispondano ai vertici di un triangolo equilatero, il cui centro sia la posizione di equilibrio della sfera stessa.