Quale è il collegamento con la teoria dei frattali ?

Se la sfera parte da posizioni lontane dai tre magneti, il suo moto é piú imprevedibile; se invece parte da posizioni piú vicine ai tre vertici, la velocitá iniziale é più bassa (causa l'attrazione contemporanea dei tre magneti) e la sfera tende ad assumere una delle tre posizioni di equilibrio.
I bacini di attrazione possono essere rappresentati nel modo seguente, utilizzando tre diversi colori per i tre diversi attrattori; studiando questi moti e queste figure, si vede come i bacini siamo insiemi frattali, non per forza connessi, con la proprietà di Wada.

modellizzazione del problema:

Si può modellizare il pendolo, vedendolo come un punto vincolato a stare su di una sfera, soggetto, oltre alla reazione vincolare, alle forze di gravitá, dissipativa (attrito) e all'attrazione dei 3 magneti.
Un punto P che si muove vincolato alla sfera (si prenda un sistema di tre coordinate centrate nel centro del triangolo) sarà rappresentato da:

$(P(x, y), \dot{P}(x, y)) =(x, y, z(x, y), \dot{x}, \dot{y},\frac{x\dot{x}+y\dot{y}}{\sqrt{R^2-x^2-y^2}})$ Poichè sono presenti forze conservative (forze di attrazione magnetica) e non, per calcolare le equazioni del moto verranno scritte le equazioni di Lagrange con le forze conservative a cui poi verrà aggiunta la forza dissipativa dell'attrito per arrivare a:

$F_x^d(x,y,\dot{x},\dot{y})= -\beta(\dot{x}+\frac{x^2\dot{x}+xy\dot{y}}{R^2-x^2-y^2}) \\ \\ L(x,y,\dot{x},\dot{y})= \frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\frac{(x\dot{x}+y\dot{y})^2}{R^2-x^2-y^2})+\sum_{i=1}^{3}\frac{\mu}{\left \| P(x,y) - Q_i) \right \|}-m\left \| gz(x,y)) \right \| \\ \\ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_j}}(x,y,\dot{x},\dot{y}))- \frac{\partial L}{\partial q_j}(x,y,\dot{x},\dot{y})= F_j^d(x,y,\dot{x},\dot{y}) \;\;\;\; j=x,y \\ \\$
Oltre alle proprietà di simmetria di questo sistema, si cerca di ridurre il numero di parametri, poichè in queste equazioni sono 7; si possono effettuare un riscalamento temporale ed una normalizzazione rispetto ad uno dei parametri spaziali; perdendo generalità, ma mantenendo l'andamento caotico, si può suppore il raggio normalizzato fissato, ad esempio; R'→∞.