Le modelizzazioni di cui sopra mi permettono di arrivare a scrivere un sistema di equazioni differenziali:
=:f_x(x,y,\dot{x},\dot{y})&space;\\&space;\\&space;&&space;\ddot{y}=-\eta\dot{y}-\frac{\partial&space;\widetilde{V}&space;}{\partial&space;y}(x,y)=:f_y(x,y,\dot{x},\dot{y})&space;\end{matrix}&space;\\&space;\\&space;\widetilde{V}(x,y)=-\sum_{i=1}^{3}\frac{1}{\left&space;\|&space;(x,y,0)-Q'_i^&space;\right&space;\|} "\begin{Bmatrix} & \ddot{x}=-\eta \dot{x}-\frac{\partial \widetilde{V} }{\partial x}(x,y)=:f_x(x,y,\dot{x},\dot{y}) \\ \\ & \ddot{y}=-\eta\dot{y}-\frac{\partial \widetilde{V} }{\partial y}(x,y)=:f_y(x,y,\dot{x},\dot{y}) \end{matrix} \\ \\ \widetilde{V}(x,y)=-\sum_{i=1}^{3}\frac{1}{\left \| (x,y,0)-Q'_i^ \right \|}")
per cui si verifica che oltre all'orgine (a seconda dei valori di h'=parametro legato alla distanza tra i magneti e il loro piano vincolare) ci sono altre 2 configurazioni di equilibrio, la cui stabilitá
varia a seconda che si consideri un sistema con o senza attrito.
Poiché fisicamente non si puó realizzare un pendolo di lunghezza infinita (in questo caso verrebbe trascurata la forza di gravitá), si puó studiare il sistema,
inserendo una forza che spinge la particella verso l'origine e vedere come variano i risultati; al potenziale di cui sopra si aggiunge un nuovo termine con un nuovo parametro:
=-\sum_{i=1}^{3}\frac{1}{\left&space;\|&space;(x,y,0)-Q'_i^&space;\right&space;\|}+\frac{1}{2}\gamma'(x^2+y^2) "\widetilde{V}(x,y)=-\sum_{i=1}^{3}\frac{1}{\left \| (x,y,0)-Q'_i^ \right \|}+\frac{1}{2}\gamma'(x^2+y^2)")
Si puó mostrare come l'effetto della gravitá sia quello di rendere anche l'origine un punto piú attrattivo, oltre agli altri tre giá detti in precedenza.
Diamo innanzitutto alcune definizioni, che ci permetterano di arrivare ad una “rappresentazione grafica” delle posizioni di equilibrio di questo problema:
Definizione 2.8.
Un sistema dinamico é una terna (G, M, φ) ove M e una varietá
differenziabile, G = ℝ oppure G = ℤ, e φ:G x M→ M é un'azione di G su M. Esso
si chiama a tempo continuo se G = ℝ e a tempo discreto se G = ℤ. La varietá M é
detta spazio delle fasi.
Definizione 2.9.
Un attrattore in un sistema dinamico (G, M, φ) é un sottoinsieme
A ⊂ M che abbia le seguenti proprietá.
1. L'insieme A é chiuso e invariante, ovvero per ogni ε ∈ A e per ogni t ∈ G valga
φ(ε, t) ∈ A (tutte le orbite che partono in A rimangono in A nel futuro e nel
passato).
2. L'insieme A attrae un intorno di condizioni iniziali, cioé esiste un insieme aperto
B ∈ M che contiene A tale che se ε ∈ B allora lim t→ ∞ dist(φ(ε, t), A) = 0.
3. L'insieme A é il piú piccolo possibile, cioé non vi sono sottoinsiemi propri di A
che soddisfano le prime due proprietá.
Definizione 2.10.
Il bacino di attrazione di un attrattore é il piú grande sottoinsieme
B di M che soddisfa la seconda condizione della definizione 2.9.
Per calcolare numericamente i bacini di attrazione, bisogna determinare
la soluzione dell'equazione differenziale (Runge Kutta 4 ordine) per tutte le posizioni iniziali in un certo
sottoinsieme del piano (con velocitá iniziale nulla) e, disegnare le posizioni iniziali
con diversi colori a seconda dell'attrattore a cui le soluzioni convergono.
