Insieme di Cantor

L’insieme di Cantor è il più noto sottoinsieme di $ℝ$ avente dimensione di Hausdorﬀ non intera; vediamo di cosa si tratta.
Consideriamo l’intervallo chiuso $[0, 1]$ e costruiamo l’insieme di Cantor $C$ in questo modo:

Figura 2.3: Insieme di Cantor

Iterando quindi il procedimento avrò che

dove I_j sono intervalli di lunghezza pari a , e si deﬁnirà quindi l’insieme di Cantor C

Mostriamo innanzitutto che la misura di Lebesgue (mis) dell’insieme di Cantor è pari a 0, mostriamo cioè che

equivalentemente mostriamo che mis(C^C)=1.
Ma ora, per come abbiamo costruito l’insieme di Cantor la parte “rimossa” sarà:

Ci rimane ora da provare che

osserviamo innanzitutto che la famiglia (C_k) deﬁnita come sopra è un δ-ricoprimento di C con δ=, quindi per definizione avrò che:

Posto ora ne viene che

e quindi:

per α >s.

Osservando questo insieme da un punto di vista più generale, possiamo notare che è molto evidente la proprietà di autosimilarità, infatti ogni intervallo C_k è simile a C sono contenute tutte le informazioni necessarie per sapere come è fatto tutto l’insieme; proprio per questo l’insieme di Cantor è uno dei primi e più semplici esempi di frattali.
Ricordando la prima deﬁnizione di frattale, possiamo osservare che, in eﬀetti, ad ogni passo da un segmento inziale vengono generati 2 segmenti, di lunghezza pari a ⅓ di quella del segmento iniziale; cioè $N = 2$ e $k = 3$ proprio come si è appena provato.