Nel primo caso $\exists s<t$ t.c. $H_{\mathrm{_s}}\left(A\right)=0$; quindi per quanto visto sopra vale che:

H_t(A) = 0.

Nel secondo caso supponiamo per assurdo che H_t(A)<∞ allora, come sopra, si avrebbe che

H_s(A) = 0∀s > t,

cioè, per la definizione di dimensione di Hausdorff, ,ma questo è assurdo poichè va contro le ipotesi; questo conclude la prova del teorema. □