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Finora abbiamo seguito questa linea; abbiamo definito le applicazioni affini tra spazi affini in modo puramente algebrico e sucessivamente abbiamo dedotto alcune proprietà di natura geometrica, in particolare per le affinità.
Vogliamo ora caratterizzare le affinità tramite proprietà di natura geometrica: essendo le affinità i veri automorfismi di uno spazio affine, capiremo senz'altro meglio quale sia la natura di questi ultimi in termini piú propriamente geometrici.

30. OSSERVAZIONE Sia $\mathcal{A}$ spazio affine su $\mathbf{V}$ e $f:\; \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{A}$ biunivoca; supponiamo che $f$ possieda la seguente proprietà:
$a)\;\;$dato $\mathcal{S}\subseteq \mathcal{A}$ sottospazio affine di dimensione $d$, allora $f(\mathcal{S})$ è sottospazio di dimensione $d$ ($f$ cioè porta sottospazi affini in sottospazi affini conservando la dimensione).
Allora $f$ possiede la proprietà:
$b)\;\;$se $\mathcal{S},\mathcal{T} \subseteq \mathcal{A}$ sono sottospazi affini e $\mathcal{S}\parallel\mathcal{T}$ allora $f(\mathcal{S}),f(\mathcal{T})$ sono sottospazi affini e $f(\mathcal{S})\parallel f(\mathcal{T})$.

DIMOSTRAZIONE Siano $\mathcal{S},\mathcal{T}$ sottospazi affini paralleli;
se $\mathcal{S}=\mathcal{T}$ allora la tesi è banale, supponiamo quindi $\mathcal{S}\neq\mathcal{T}$.

PARTE i      $\mathsf{dim}\mathcal{S}=\mathsf{dim}\mathcal{T}=:d$:   poiché $\mathcal{S}\neq\mathcal{T}$ allora $d$ è strettamente minore della dimensione di $\mathcal{A}$ e sappiamo che (vedi esercizio 7 della sezione "Parallelismo") che $\mathcal{S}\cap\mathcal{T}=\emptyset$ e che esiste $\mathcal{M}$ sottospazio affine di $\mathcal{A}$ di dimensione $d+1$ tale che $\mathcal{S}\cup\mathcal{T}\subseteq\mathcal{M}$; per ipotesi $f(\mathcal{S}),f(\mathcal{T})$ sono ancora sottospazi $d$-dimensionali e $f(\mathcal{M})$ è sottospazio $(d+1)$-dimensionale; inoltre $f(\mathcal{S}),f(\mathcal{T})$ sono iperpiani in $f(\mathcal{M})$ e sono disgiunti perché $f$ è iniettiva; da ciò segue che $f(\mathcal{S})\parallel f(\mathcal{T})$ in virtú di proposizione 6 della sezione "Parallelismo".

PARTE ii   sia ora ;   senza ledere la generalità possiamo supporre $\mathsf{dim}\mathcal{S}\leq\mathsf{dim}\mathcal{T}$, allora esiste $\mathcal{L}$ sottospazio affine di $\mathcal{A}$ tale che $\mathcal{L}\parallel\mathcal{T}$, $\mathsf{dim}\mathcal{L}=\mathsf{dim}\mathcal{T}$ e $\mathcal{S}\subseteq\mathcal{L}$ (vedi proposizione 12, secondo punto, della sezione "Parallelismo").
Grazie a parte i sappiamo che $f(\mathcal{L})\parallel f(\mathcal{T})$ e poiché $f(\mathcal{S})\subseteq f(\mathcal{L})$ deduciamo che anche $f(\mathcal{S})\parallel f(\mathcal{T})$.

Terminologia:
  • un'applicazione $f:\; \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{A}$ biunivoca che possiede la proprietà $a)\;$ è detta quindi conservare il parallelismo e la terminologia è giustificata dall'osservazione precedente.
  • sia $f:\; \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{A}$ biunivoca; diciamo che $f$ "conserva il rapporto" (di segmenti orientati paralleli) se, dati $A,B,P,Q \in \mathcal{A}$, $\;A\neq B,\;P\neq Q\;$ e $(A,B) \parallel (P,Q)$ allora $(f(A),f(B))$ e $(f(P),f(Q))$ sono ancora segmenti orientati paralleli e

    \begin{displaymath}\frac{(A,B)}{(P,Q)}=\frac{(f(A),f(B))}{(f(P),f(Q))} \end{displaymath}

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