TEOREMA DI CARATTERIZZAZIONE GEOMETRICA DELLE AFFINITÀ: PARALLELOGRAMMI

Introduciamo ora in uno spazio affine astratto la nozione di parallelogramma, essa ci servirà nella dimostrazione del teorema di caratterizzazione geometrica dele affinità.

27. DEFINIZIONE Sia $\mathcal{A}$ spazio affine, $\mathsf{dim}\mathcal{A}\geq 2$ ;
siano $P_1,P_2,P_3,P_4 \in\mathcal{A}$ distinti e non collineari; poniamo $l_1:=P_1\vee P_2,\;l_2:=P_2\vee P_3,\;l_3:=P_3\vee P_4,\;l_4:=P_4\vee P_1$ ; se accade che $l_1\parallel l_3$ e $l_2\parallel l_4$ allora i punti

(in quest'ordine) sono detti vertici

del parallelogramma di lati $\{P_1,P_2\},\{P_2,P_3\},\{P_3,P_4\}$ e $\{P_4,P_1\}$ ; indicheremo tale parallelogramma con il simbolo $\diamondsuit(P_1 P_2 P_3 P_4)$ .
I segmenti $\{P_1,P_3\},\{P_2,P_4\}$ sono detti diagonali del parallelogramma .

Si noti quindi che lati e diagonali sono segmenti non orientati, ma, riferendoci ad un parallelogramma, parliamo di una quaterna ordinata di punti.

28. PROPOSIZIONE Sia $\mathcal{A}$ spazio affine, $\mathsf{dim}\mathcal{A}\geq 2$ ;
consideriamo un parallelogramma $\diamondsuit(P_1 P_2 P_3 P_4)$ , allora $\overrightarrow{P_1 P_2}=\overrightarrow{P_4 P_3}$ e $\overrightarrow{P_1 P_4}=\overrightarrow{P_2 P_3}$ .

DIMOSTRAZIONE I vettori $\overrightarrow{P_1 P_2}$ e $\overrightarrow{P_4 P_3}$ appartengono alla comune giacitura di

e dunque esiste $\lambda\in\mathbf{K}$ tale che $\overrightarrow{P_1 P_2}=\lambda\overrightarrow{P_4 P_3}$ .
Identicamente esiste $\mu\in\mathbf{K}$ tale che $\overrightarrow{P_1 P_4}=\mu\overrightarrow{P_2 P_3}$ , dobbiamo quindi provare che $\lambda=\mu =1$ .
A tal fine si osservi che
$\overrightarrow{P_1 P_2}+\overrightarrow{P_2 P_3}=\overrightarrow{P_1 P_3}=\overrightarrow{P_1 P_4}+\overrightarrow{P_4 P_3}$ da cui
$\overrightarrow{P_1 P_2}-\overrightarrow{P_4 P_3}+\overrightarrow{P_2 P_3}-\overrightarrow{P_1 P_4}=\mathbf{0}_{\mathbf{V}}$ uguaglianza che possiamo riscrivere come:
$(\lambda-1)\overrightarrow{P_4 P_3}+(1-\mu)\overrightarrow{P_2 P_3}=\mathbf{0}_{\mathbf{V}}$ . Ma $\overrightarrow{P_4 P_3}$ e $\overrightarrow{P_2 P_3}$ sono vettori linearmente indipendenti (e di qui $(1-\mu)=(\lambda-1)=0$ ), infatti sono non nulli e stanno su 2 rette vettoriali $\mathsf{giac}l_2$ , $\mathsf{giac}l_3$ che sono distinte (se cosí non fosse allora

sarebbero parallele, ma esse si intersecano in

e quindi sarebbero coincidenti contro l'ipotesi di non collinearità dei 4 punti

).

29. ESERCIZI L'esercizio proposto ci servirà come lemma nella dimostrazione del teorema di caratterizzazione geometrica delle affinità.

______

_______________

________________________