UN'APPLICAZIONE AFFINE È UNIVOCAMENTE DETERMINATA DALLA PARTE LINEARE E DAL VALORE SU UN PUNTO

Segue dalla definizione che un'applicazione affine

tra $\mathcal{A}$ e $\mathcal{A}'$ determina un'applicazione lineare $\varphi=\Phi(f)$ tra $\mathbf{V}$ e $\mathbf{V}'$ ; d'altra parte sappiamo che possono esistere diverse applicazioni affini aventi la stessa parte lineare (ad esempio le traslazioni) e quindi la conoscenza della parte lineare non determina l'applicazione affine stessa; effettivamente non serve molto di piú: basta anche conoscere come l'applicazione affine agisce su un punto, come chiarito dalla proposizione seguente:

7. TEOREMA Siano $\mathbf{V},\mathbf{V}'$ $\mathbf{K}$ -spazi vettoriali e $\mathcal{A}, \mathcal{A}'$ spazi affini rispettivamente su $\mathbf{V},\mathbf{V}'$ .
Siano inoltre $\varphi \in \mathsf{Hom}_{\mathbf{K}}(\mathbf{V},\mathbf{V}'),\;O\in\mathcal{A},\;O'\in\mathcal{A}'$ ;
allora esiste un'unica applicazione affine $f:\; \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{A}'$ tale che

e $\varphi=\Phi(f)$ .

DIMOSTRAZIONE Supponiamo che

esista: allora $\forall M,N \in \mathcal{A}$ deve valere $\overrightarrow{f(M)f(N)}=\varphi(\overrightarrow{MN})$ , in particolare scegliendo

otterremo

$\begin{displaymath}\overrightarrow{O'f(N)}=\varphi(\overrightarrow{ON})\;\;\;\;\;\;(\ast)\end{displaymath}$

Dati $O,N \in \mathcal{A}$ e quindi un vettore $\varphi(\overrightarrow{ON})\in\mathbf{V}'$ e un punto $O'\in \mathcal{A}'$ , esiste un unico punto

in $\mathcal{A}'$ che soddisfa l'identità $(\ast)$ -è il contenuto di ASS.1 di spazio affine- (punto che dipende da $N,O,O',\varphi$ , ma $O,O',\varphi$ sono fissati per cui potremo indicare solo la dipendenza da

, venendosi cosí effettivamente a definire una funzione $f:\; \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{A}'$ ).
In virtú di ciò possiamo dire che se

esiste allora è unica.
Proviamo a definire

proprio in questa maniera e verifichiamo le richieste:

applicazione affine, $\varphi=\Phi(f)$ :
dati $P,Q \in \mathcal{A}$ , abbiamo che $\overrightarrow{f(P)f(Q)}=\overrightarrow{f(P)O'}+\overrightarrow{O'f(Q)}=-\overrightarrow{O'f(P)}+\overrightarrow{O'f(Q)}=$
$=-\varphi(\overrightarrow{OP})+\varphi(\overrightarrow{OQ})=\varphi(\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP})=\varphi(\overrightarrow{PQ})$
porta in :
$\overrightarrow{O'f(O)}=\varphi(\overrightarrow{OO})=\varphi(\overrightarrow{\mathbf{0}_{\mathbf{V}}})=\mathbf{0}_{\mathbf{V}'}$ e questo implica .

Si osservi che in particolare otteniamo che l'applicazione $\Phi:\;\mathsf{Hom}_{\mathbf{K}}(\mathcal{A},\mathcal{A}')\;\longrightarrow\;\mathsf{Hom}_{\mathbf{K}}(\mathbf{V},\mathbf{V}')$ è sempre suriettiva e in generale non iniettiva (perché in generale? in quale caso è anche iniettiva?)

______

_______________

________________________