DEFINIZIONE DI ISOMORFISMO AFFINE

Come nel caso delle applicazioni lineari è naturale considerare quelle applicazioni affini che sono biunivoche:

3. DEFINIZIONE Siano

-spazi vettoriali e $\mathcal{A}, \mathcal{A}'$ spazi affini rispettivamente su $\mathbf{V},\mathbf{V}'$ .
Un'applicazione affine $f:\; \mathcal{A} \;\longrightarrow \; \mathcal{A}'$ è detta isomorfismo affine se biunivoca.
Scriveremo

.

Se $\mathcal{A}= \mathcal{A}'$

è detta affinità e scriveremo $f \in \mathsf{Aff}_{\mathbf{K}}(\mathcal{A})$ .

4. PROPOSIZIONE Un'applicazione affine è un isomorfismo affine se e solo se la sua parte lineare è un isomorfismo di $\mathbf{K}$ -spazi vettoriali.

DIMOSTRAZIONE
$\Rightarrow$ ) Sia $f:\; \mathcal{A} \;\longrightarrow \; \mathcal{A}'$ applicazione affine biunivoca; dobbiamo dimostrare che $\Phi(f)=:\varphi: \;\mathbf{V}\;\longrightarrow\;\mathbf{V}'$ è isomorfismo di $\mathbf{K}$ -spazi vettoriali; per definizione $\varphi$ è lineare allora basterà dimostrare che è biunivoca.
$\varphi$ iniettiva: sia $\mathbf{v} \in \mathbf{V}$ tale che

; vogliamo dimostrare che $\mathbf{v}=\mathbf{0}_{\mathbf{V}}$ ; sicuramente possiamo trovare $P,Q \in \mathcal{A}$ tali che $\overrightarrow{PQ}=\mathbf{v}$ ; ora si ha $\mathbf{0}_{\mathbf{V}'}=\varphi(\mathbf{v})=\varphi(\overrightarrow{PQ})=\overrightarrow{f(P)f(Q)}$ per definizione di applicazione affine; allora

, ma

è iniettiva e dunque

da cui $\overrightarrow{PQ}=\mathbf{v}=\mathbf{0}_{\mathbf{V}}$ .
$\varphi$ suriettiva: sia $\mathbf{v}' \in \mathbf{V}'$ ; vorremmo trovare $\mathbf{v} \in \mathbf{V}$ tale che $\varphi(\mathbf{v})= \mathbf{v}'$ ; ora siano $P',Q'\in \mathcal{A}'$ tali che $\overrightarrow{P'Q'}=\mathbf{v}'$ ;

è suriettiva allora esistono $P,Q \in \mathcal{A}$ tali che

. Ora si ha $\mathbf{v}'=\overrightarrow{P'Q'}= \overrightarrow{f(P)f(Q)}=\varphi(\overrightarrow{PQ})$ per cui ponendo $\mathbf{v}:=\overrightarrow{PQ}$ siamo a posto.

$\Leftarrow$ ) Sia $f:\; \mathcal{A} \;\longrightarrow \; \mathcal{A}'$ applicazione affine e sia $\varphi: \;\mathbf{V}\;\longrightarrow\;\mathbf{V}'$ , la sua parte lineare, isomorfismo di $\mathbf{K}$ -spazi vettoriali; dobbiamo dimostrare che

è biunivoca.

iniettiva: siano $P,Q \in \mathcal{A}$ tali che

; vorremmo

; ora si ha $\mathbf{0}_{\mathbf{V}'}=\overrightarrow{f(P)f(Q)}=\varphi(\overrightarrow{PQ})$ e siccome $\varphi$ è lineare e iniettiva abbiamo che $\overrightarrow{PQ}=\mathbf{0}_{\mathbf{V}}$ cioè proprio

suriettiva: sia $P'\in\mathcal{A}'$ , vorremmo trovare $P\in\mathcal{A}$ tale che

; sia $Q\in \mathcal{A}$ arbitrario, poniamo

e consideriamo il vettore $\overrightarrow{P'Q'}\in \mathbf{V}'$ ; siccome $\varphi$ è suriettiva possiamo trovare $\mathbf{v} \in \mathbf{V}$ tale che $\varphi(\mathbf{v})=\overrightarrow{P'Q'}$ ; per ASS.1 di spazio affine $\exists !\;P\in \mathcal{A}$ tale che $\overrightarrow{PQ}=\mathbf{v}$ ; affermiamo che

fa al caso nostro: $\overrightarrow{f(P)Q'}=\overrightarrow{f(P)f(Q)}=\varphi(\overrightarrow{PQ})=\varphi(\mathbf{v})=\overrightarrow{P'Q'}$ e questo implica (vedi esercizio 8.3 della sezione "Spazi affini: definizione e proprietà")

.

5. COROLLARIO
$f$

è affinità se e solo se la sua parte lineare è un automorfismo di $\mathbf{V}$ .

6. ESERCIZI L'esercizio proposto tratta alcune proprietà della relazione "essere isomorfo" .

______

_______________

________________________