L'IMMAGINE DI SOTT. PARALLELI TRAMITE UN'APPL. AFFINE È COSTITUITA DA SOTT. PARALLELI

11. PROPOSIZIONE Siano $\mathbf{V},\mathbf{V}'$ $\mathbf{K}$ -spazi vettoriali e $\mathcal{A}, \mathcal{A}'$ spazi affini rispettivamente su $\mathbf{V},\mathbf{V}'$ .
Sia $f:\; \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{A}'$ applicazione affine e siano $\mathcal{S},\mathcal{T} \subseteq \mathcal{A}$ sottospazi affini paralleli (vedi definizione 10 della sezione "Parallelismo");
allora $f(\mathcal{S}),f(\mathcal{T}) \subseteq \mathcal{A}'$ sono sottospazi affini paralleli.

DIMOSTRAZIONE Se $\mathcal{S}=\mathsf{S}(P,\mathbf{U})$ e $\mathcal{T}=\mathsf{S}(Q,\mathbf{W})$ per opportuni $P,Q\in\mathcal{A}$ e $\mathbf{U},\mathbf{W} \subseteq \mathbf{V}$ sottospazi vettoriali, allora segue dal primo punto di proposizione 9 che $f(\mathcal{S})=\mathsf{S}(f(P),\varphi(\mathbf{U}))$ e $f(\mathcal{T})=\mathsf{S}(f(Q),\varphi(\mathbf{W}))$ ove $\varphi$ è la parte lineare di

.
Ora, poiché $\mathcal{S}\parallel\mathcal{T}$ , abbiamo che $\mathbf{U} \subseteq \mathbf{W}$ oppure $\mathbf{U} \supseteq \mathbf{W}$ per cui rispettivamente $\varphi(\mathbf{U}) \subseteq \varphi(\mathbf{W})$ oppure $\varphi(\mathbf{U}) \supseteq \varphi(\mathbf{W})$ , da cui $f(\mathcal{S})\parallel f(\mathcal{T})$ .

12. ESERCIZI L'esercizio proposto tratta il corrispettivo della proposizione precedente relativamente alla relazione di incidenza -vedi definizione 13 della sezione "Parallelismo"- (mostrando che le applicazioni affini non conservano necessariamente l'incidenza).

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