APPLICAZIONI AFFINI: INTRODUZIONE

Siano $\mathbf{V},\mathbf{V}'$ $\mathbf{K}$ -spazi vettoriali e $\mathcal{A}, \mathcal{A}'$ spazi affini rispettivamente su $\mathbf{V},\mathbf{V}'$ .
Sia data un'applicazione:

$\begin{displaymath}\begin{array}{cclc} f: & \mathcal{A} & \longrightarrow & \mathcal{A}' \\ \; & P & \mapsto & f(P) \end{array}\end{displaymath}$

È interessante porsi la seguente domanda: quali proprietà dovrà avere

per poter ragionevolmente affermare che tale applicazione "rispetta" la struttura affine degli insiemi su cui opera, per poter essere cioè quello che chiameremo un'applicazione affine?

Ricordiamo che la struttura di spazio affine su un insieme è data da un'applicazione

$\begin{displaymath}\begin{array}{clc} \mathcal{A}\times\mathcal{A} & \longright... ...thbf{V} \\ (P,Q) & \mapsto & \overrightarrow{PQ} \end{array}\end{displaymath}$

e soddisfacente certi assiomi.
Siamo tentati a dire che

rispetta la struttura affine di $\mathcal{A}$ e $\mathcal{A}'$ se conserva l'associazione che ad ogni coppia di punti fa corrispondere un vettore, cioè se:

$\begin{displaymath}\overrightarrow{f(P)f(Q)}= \overrightarrow{PQ}\;\;\;\;\forall\;P,Q\;\in \mathcal{A}\end{displaymath}$

Tale definizione invece non può essere corretta come si nota immediatamente osservando che al primo membro abbiamo un vettore di $\mathbf{V}$ e al secondo uno di $\mathbf{V}'$ .
Risolviamo il "problema" connettendo i due vettori tramite un'applicazione tra $\mathbf{V}$ e $\mathbf{V}'$ che rispetti la struttura di spazio vettoriale su $\mathbf{K}$ , cioè tramite $\varphi \in \mathsf{Hom}_{\mathbf{K}}(\mathbf{V},\mathbf{V}')$ , ottenendo in definitiva la corretta definizione.

È d'altra parte ragionevole aspettarsi che un'applicazione che conservi la struttura affine sia in qualche modo connessa con le applicazioni lineari anche ricordando che uno spazio affine si può sempre vedere come spazio vettoriale una volta fissato un suo punto -come detto, in sostanza uno spazio affine è uno spazio vettoriale di cui cerchiamo di "dimenticarci" l'origine. La non univocità di questa scelta si tradurrà, come vedremo, nel fatto che applicazioni affini diverse potranno essere associate alla stessa applicazione lineare.

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