TEOREMA DI CARATTERIZZAZIONE GEOMETRICA DELLE AFFINITÀ: ENUNCIATO

31. TEOREMA CARATTERIZZAZIONE GEOMETRICA DELLE AFFINITÀ
Sia $\mathcal{A}$ spazio affine su $\mathbf{V}$ e $f:\; \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{A}$ biunivoca;
allora

è affinità se e solo se valgono le seguenti condizioni:

conserva il parallelismo, (nel senso quindi della terminologia già introdotta, cioè se possiede la proprietà dell'osservazione 30 ),
conserva il rapporto (anche qui nel senso della terminologia già introdotta).

32. OSSERVAZIONI
I) Si noti che se $\mathsf{dim}\mathcal{A}=0$ allora $\mathcal{A}$ è costituito da un solo punto e l'unica applicazione di $\mathcal{A}$ in $\mathcal{A}$ è l'identità.
Se invece $\mathsf{dim}\mathcal{A}=1$ allora ogni applicazione biunivoca (cioè ogni permutazione) di $\mathcal{A}$ in $\mathcal{A}$ conserva il parallelismo.

II) Accenniamo solamente al fatto che si può ulteriormente semplificare la definizione di "

conserva il parallelismo", infatti si dimostra che se il campo base $\mathbf{K}$ ha almeno tre elementi (cioè per ogni campo diverso da $\mathrm{Z}_{2}$ ) e quindi su una retta stanno almeno tre punti distinti, allora basta richiedere la condizione

limitatamente alle rette affini (vedi SNAPPER, E., TROYER, R. J., Metric Affine Geometry, Academic Press Inc., New York, 1971).

DIMOSTRAZIONE
$\Rightarrow$ ) Il contenuto di questa implicazione risiede nelle proposizioni 16 e 19.

$\Leftarrow$ ) La dimostrazione di questa implicazione è piuttosto complessa ed è spezzata in vari passi; inoltre il caso $\mathsf{dim}\mathcal{A}=1$ presenta qualche particolarità conseguentemente a quanto detto nell'osservazione 32 I e sarà trattato separatamente.

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