PROPRIETÀ AFFINI

16. PROPOSIZIONE Sia $\mathcal{A}$ spazio affine su $\mathbf{V}$ e $f\in\mathsf{Aff}_{\mathbf{K}}(\mathcal{A})$ ; sia $\mathcal{S}\subseteq \mathcal{A}$ sottospazio affine di dimensione

, allora $f(\mathcal{S})$ è sottospazio affine di dimensione

.
"Essere sottospazio affine di dimensione

" è quindi una proprietà affine.

DIMOSTRAZIONE Sia $\mathcal{S}=\mathsf{S}(P,\mathbf{U})$ ; sappiamo già (vedi proposizione 9) che $f(\mathcal{S})=\mathsf{S}(f(P),\varphi(\mathbf{U}))$ ove $\varphi$ è la parte lineare di

.
Siccome $\varphi$ è automorfismo di $\mathbf{V}$ vale $d=\mathsf{dim}\mathcal{S}=\mathsf{dim}\mathbf{U}=\mathsf{dim}\varphi(\mathbf{U})=\mathsf{dim}f(\mathcal{S})$ .

17. PROPOSIZIONE Sia $\mathcal{A}$ spazio affine su $\mathbf{V},\;\;\mathsf{dim}\mathcal{A}=n$ e $f\in\mathsf{Aff}_{\mathbf{K}}(\mathcal{A})$ ; siano $P_0,\ldots,P_d \in\mathcal{A},\;\;\;0 \leq d \leq n$ punti indipendenti.

Allora $f(P_0),\ldots,f(P_d)$ sono punti indipendenti.
"Essere

punti indipendenti" è quindi una proprietà affine.

DIMOSTRAZIONE Si può dimostrare osservando che $\mathcal{S}=P_0\vee\ldots \vee P_d$ e $f(\mathcal{S})=f(P_0)\vee\ldots \vee f(P_d)$ per esercizio 10.2, sottospazio che ha ancora dimensione

per la proposizione 16 per cui necessariamente $f(P_0),\ldots,f(P_d)$ sono indipendenti.

18. OSSERVAZIONE Anche per le sole applicazioni affini

sappiamo che $\mathcal{S}\parallel\mathcal{T}\;\Rightarrow\;f(\mathcal{S})\parallel f(\mathcal{T})$ (vedi proposizione 11) per cui anche "essere sottospazi paralleli" è proprietà affine.

19. PROPOSIZIONE Sia $\mathcal{A}$ spazio affine su $\mathbf{V}$ e

; sia

segmenti orientati paralleli (vedi definizioni 14 e 15).

Allora

sono segmenti orientati paralleli e vale

"Essere segmenti orientati paralleli ed avere un dato rapporto" è proprietà affine.

DIMOSTRAZIONE Siccome

è iniettiva avremo ancora che $f(A)\neq f(B)$ e $f(P)\neq f(Q)$ per cui ha senso considerare i segmenti orientati dell'enunciato; essi sono paralleli grazie al risultato dell'osservazione 18.
Poniamo

$\begin{displaymath}\lambda=\frac{(A,B)}{(P,Q)}\end{displaymath}$

cioè

(vedi definizione 15).
Ma $\overrightarrow{f(P)f(Q)}=\varphi(\overrightarrow{PQ})$ e $\overrightarrow{f(A)f(A)}=\varphi(\overrightarrow{AB})$ per cui:
$\mu\varphi(\overrightarrow{PQ})=\varphi(\overrightarrow{AB})$ .
Applicando $\varphi$ alla uguaglianza $(\ast)$ e ricordando che è lineare, in particolare omogenea, otteniamo: $\lambda\varphi(\overrightarrow{PQ})=\varphi(\overrightarrow{AB})$ .
Sottraendo queste due uguaglianze otteniamo $(\mu-\lambda)\varphi(\overrightarrow{PQ})=\mathbf{0}_{\mathbf{V}}$ che implica $\mu=\lambda$ dagli assiomi di spazio vettoriale, infatti $P\neq Q\Rightarrow\overrightarrow{PQ}\neq\mathbf{0}_{\mathbf{V}}\Rightarrow\varphi(\overrightarrow{PQ})\neq\mathbf{0}_{\mathbf{V}}$ perchè $\varphi$ è iniettiva.

20. ESERCIZI L'esercizio proposto è un semplice corollario della proposizione 17.

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