ESISTE UN'UNICA AFFINITÀ CHE PORTA n+1 PUNTI IND. IN n+1 PUNTI IND.

21. PROPOSIZIONE Sia $\mathcal{A}$ spazio affine su $\mathbf{V},\;\;\mathsf{dim}\mathcal{A}=n$ , siano $P_0,\ldots,P_n \in \mathcal{A}$ e $Q_0,\ldots,Q_n \in \mathcal{A}$ punti indipendenti;
allora esiste un'unica affinità

di $\mathcal{A}$ tale che $f(P_i)=Q_i\;,\;\;i=0,\ldots,n$ .

DIMOSTRAZIONE Sappiamo già che esiste un'unica applicazione affine che fa questo (vedi proposizione 8); resta da provare che si tratta di un'affinità e questo segue dal fatto che la sua parte lineare è un automorfismo di $\mathbf{V}$ in quanto porta una sua base $(\overrightarrow{P_0 P_1},\ldots,\overrightarrow{P_0 P_n})$ in un'altra sua base $(\overrightarrow{Q_0 Q_1},\ldots,\overrightarrow{Q_0 Q_n})$ (vedi dimostrazione di proposizione 8).

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