RAPPORTO DI SEGMENTI ORIENTATI

13. DEFINIZIONE Sia $\mathcal{A}$ spazio affine su $\mathbf{V}$ e siano $A,B\in\mathcal{A}\;\;A\neq B$ ; diciamo che l'insieme $\{A,B\}$ costituisce il segmento di estremi

; si noti che non ci stiamo riferendo alla coppia ordinata: $\{A,B\} =\{B,A\}$ .

Nel piano o nello spazio ordinario (che sono spazi affini reali) usualmente si pensa al segmento di estremi

come all'insieme di tutti i punti che "stanno tra"

; ma in uno spazio affine astratto il concetto di "giacere tra" non ha in generale senso.

(Esso può venir definito nel momento in cui il campo $\mathbf{K}$ è ordinato, cosí come $\mathbf{R}$ , precisamente sia $\mathbf{K}$ ordinato e $P,Q\in\mathcal{A}\;\;P\neq Q$ , sia $R\in P\vee Q$ , allora $\overrightarrow{PR}$ e $\overrightarrow{PQ}$ stanno in $\mathsf{giac}(P\vee Q)$ che è una retta vettoriale di $\mathbf{V}$ per cui esiste un unico $\lambda\in\mathbf{K}$ tale che $\overrightarrow{PR}=\lambda\overrightarrow{PQ}$ ; diciamo che

giace tra

se $0_{\mathbf{K}}\leq \lambda \leq 1_{\mathbf{K}}$ ).

Siano $\{A,B\}$ e $\{P,Q\}$ due segmenti in $\mathcal{A}$ ; essi vengono detti paralleli se la retta $A\vee B$ è parallela alla retta $P\vee Q$ .

14. DEFINIZIONE Siano $A,B\in\mathcal{A}\;\;A\neq B$ ; diciamo che la coppia

costituisce un segmento orientato ; certamente ora $(A,B)\neq(B,A)$ .

Dati due segmenti orientati

diremo che essi sono paralleli se i corrispondenti segmenti non orientati $\{A,B\}$ e $\{P,Q\}$ sono paralleli.

15. DEFINIZIONE Siano

segmenti orientati di $\mathcal{A}$ paralleli; allora i vettori $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{PQ}$ appartengono entrambi alla comune giacitura di $A\vee B$ e $P\vee Q$ ; trattandosi di una retta vettoriale $\exists!\;\lambda \in \mathbf{K}$ tale che $\lambda\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{AB}$ ; si noti che $\lambda\neq 0_{\mathbf{K}}$ .

Tale scalare è detto rapporto dei segmenti orientati

e scriveremo

$\begin{displaymath}\lambda =\frac{(A,B)}{(P,Q)}\end{displaymath}$

Il significato di $\lambda$ nel piano e nello spazio ordinario è evidente:

il segno di $\lambda$ ci indica se i vettori applicati

sono concordi o discordi:

$\lambda>0_{\mathbf{R}}\;\Leftrightarrow\;$ e hanno lo stesso verso;
$\lambda<0_{\mathbf{R}}\;\Leftrightarrow\;$ e non hanno lo stesso verso;

il modulo di $\lambda$ rappresenta il rapporto tra la lunghezza del segmento $\{A,B\}$ (che nel piano ordinario è indicato semplicemente con il simbolo mentre la sua misura è indicata con il simbolo $\overline{AB}$ ) rispetto alla lunghezza di , o, in altre parole, la lunghezza di quando misurata con la lunghezza di come unità di misura.

In uno spazio affine astratto $\mathbf{K}$ è un campo generico e non abbiamo piú la nozione di segno e modulo di $\lambda$ , ciononostante si può ancora affermare che possiamo confrontare la lunghezza di segmenti orientati paralleli, intendendo con ciò che possiamo semplicemente determinare il loro rapporto.

Si noti che quando abbiamo costruito lo spazio dei vettori liberi $\mathcal{V}$ associato al piano ordinario noi non ci siamo mai serviti della possibilità di confrontare lunghezze di segmenti arbitrari (capacità che intuitivamente abbiamo nel piano ordinario e che ci permette di scegliere un segmento come unità assoluta di misura) né ci siamo serviti della possibilità di confrontare il verso di vettori applicati paralleli ma solo di confrontare la lunghezza e contemporaneamente il verso di segmenti orientati paralleli (ad esempio nel caso degenere della somma di due vettori applicati o nella definizione di moltiplicazione di un vettore applicato per un numero reale ed ancora nella definizione di vettori equipollenti).
La stessa abilità ritroviamo ora in uno spazio affine astratto, com'era d'altra parte lecito aspettarsi.

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