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Abbiamo associato al piano ordinario lo spazio vettoriale dei vettori applicati in un punto e abbiamo visto come esso dipenda dalla scelta del punto di applicazione dei vettori; cercheremo ora di associare al piano ordinario uno spazio vettoriale "canonico", non dipendente cioè da scelte arbitrarie.

A questo scopo introduciamo il concetto di vettori applicati "equipollenti"; consideriamo l'insieme

\begin{displaymath}\mbox{\boldmath ${\widetilde{V}}$}:=\bigcup_{O \in
\Pi}\mathcal{V}_{O} \end{displaymath}

cioè nient'altro che l'insieme di tutti i vettori applicati.

4. DEFINIZIONE Siano dunque $(P,Q), (P',Q') \in \mbox{\boldmath${\widetilde{V}}$ } $ due qualsiasi vettori applicati; diciamo che $(P,Q), (P',Q')$ sono equipollenti se:

  • $P=Q$ e $P'=Q'$ oppure se
  • $P \neq Q $ e $ P' \neq Q'$ e
    1.
    la retta per $P$ e $Q$ è parallela alla retta per $P'$ e $Q'$ e
    2.
    il segmento $PQ$ è congruente al segmento $P'Q'$ -cioè hanno la stessa lunghezza-
    3.
    i vettori applicati $(P,Q)$ e $(P',Q')$ hanno lo stesso verso.

Noti il lettore che $(P,Q)$ e $(P',Q')$ sono equipollenti se e solo se tali due vettori si corrispondono tramite l'isomorfismo $\psi$ già descritto (vedi esercizio 3.2) tra $\mathcal{V}_{P}$ e $\mathcal{V}_{P'}$.
A questo punto osserviamo che la relazione or ora introdotta nell'insieme $\mbox{\boldmath${\widetilde{V}}$ }$ dei vettori applicati è una relazione d'equivalenza che sarà indicata con il simbolo $\equiv$ -il lettore può verificare immediatamente questa asserzione- .

Avendo dunque una relazione di equivalenza $\equiv$ sull'insieme $\mbox{\boldmath${\widetilde{V}}$ }$ dal punto di vista matematico è naturale considerare l'insieme quoziente $\mbox{\boldmath${\widetilde{V}}$ }/ \equiv$, l'insieme cioè delle classi di equivalenza; indichiamo tale insieme con il simbolo $\mathcal{V}$.


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