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Per motivare la definizione astratta di spazio affine che sarà data, cominciamo col ricordare le connessioni che esistono tra piano e spazio ordinario e gli spazi vettoriali. Per fissare le idee riferiamoci al piano ordinario.

Noi supponiamo che il lettore sappia già cos'è un $\mathbf{K}$-spazio vettoriale; un tal lettore avrà già senz'altro visto come esempio di $\mathbf{R}$-spazio vettoriale lo spazio dei vettori del piano ordinario applicati in un punto; qui richiamiamo questo esempio perché ci serve per introdurre i vettori liberi.

1. DEFINIZIONE   Fissiamo un punto $O$ nel piano ordinario; in questo modo possiamo costruire in modo naturale uno spazio vettoriale su $\mathbf{R}$ di dim. 2 chiamando vettori applicati in $O$ tutte le coppie ordinate del tipo $(O,P)$ ove $P$ è un punto del piano ordinario stesso; denotiamo tale insieme con il simbolo $\mathcal{V}_{O}$.

Rappresentiamo graficamente questi vettori come frecce o segmenti orientati con la punta nel secondo estremo. La scelta di una freccia si spiega in quanto dobbiamo rappresentare una coppia ordinata di punti e non un semplice insieme costituito da 2 punti.

Inoltre osserviamo che nella nostra rappresentazione grafica del vettore applicato $(O,P)$ coinvolgiamo tutti i punti che "stanno tra" $O$ e $P$; in effetti si tratta di una pura comodità grafica visto che tali punti sono determinati univocamente dagli estremi.



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