In questa sezione costruiremo a partire dal piano ordinario (e analogamente dallo spazio ordinario) lo spazio vettoriale dei vettori liberi.
Questa costruzione ci permetterà di capire meglio la definizione astratta di spazio affine (che del piano e dello spazio ordinari generalizzano il concetto).

Ma cosa sono piano e spazio ordinari?
Possiamo brevemente dire che essi sono i soggetti trattati dalla geometria piana e solida seguendo l'impostazione classica di Euclide formalizzata dagli assiomi di Hilbert.

In questa sede non c'è bisogno di richiamare tale impostazione, è sufficiente che il lettore pensi ad esempio al piano ordinario come ad un qualsiasi piano fisico in cui vale tutto ciò che sembra evidente all'intuizione geometrica. Nel seguito useremo alcune proprietà di natura, appunto, intuitiva del piano ordinario; useremo pesantemente anche un altro "fatto" meno intuitivo con cui in ogni caso lo studente dovrebbe avere una minima familiarità: la corrispondenza biunivoca tra punti di una retta del piano (o spazio) ordinario e l'insieme dei numeri reali .

Precisamente, fissata una retta e due punti distinti , si stabilisce una corrispondenza biunivoca tra e associando a il numero , ad un punto che giaccia sulla semiretta individuata da e contenente il numero reale che rappresenta la lunghezza del segmento , avendo preso il segmento come unità (in particolare si ottiene che a è associato il numero ), e infine ad un punto che giaccia sulla semiretta individuata da e non contenente il numero reale - che rappresenta l'opposto della lunghezza del segmento (sempre avendo preso il segmento come unità).


Nel seguito indicheremo il piano ordinario con la lettera (pi) e lo spazio ordinario con la lettera (upsilon).