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5. PROPOSIZIONE Sia $\mathcal{A}$ spazio affine su $\mathbf{V}$ e siano $\mathcal{S}$ e $ \mathcal{T}$ sottospazi affini di $\mathcal{A}$ della stessa dimensione; allora

\begin{displaymath}\mathcal{S} \parallel \mathcal{T}\;\;\Rightarrow\;\;\lq\lq \mathca......ox{oppure}\;\;\mathcal{S} \cap \mathcal{T} = \emptyset\mbox{''}\end{displaymath}



DIMOSTRAZIONE $\mathcal{S} \parallel \mathcal{T}\;\;\Rightarrow\;\;\mathsf{giac}\mathcal{S}=\mathsf{giac}\mathcal{T}$ per cui se $\mathcal{S} \cap \mathcal{T} \neq \emptyset$ allora $\mathcal{S} = \mathcal{T}$ in virtú dell'esercizio 2.5 della sezione "Sottospazi affini".

L'inverso della proposizione in generale non è vero (per le rette nello spazio ordinario ad esempio) però è vero per le rette nel piano ordinario o per i piani nello spazio ordinario; in questi due ultimi casi abbiamo a che fare con sottospazi affini propri di dimensione massima e questa è esattamente la situazione che si presenta in generale.

6. PROPOSIZIONE Sia $\mathcal{A}$ spazio affine su $\mathbf{V}$ e siano $\mathcal{S}$ e $ \mathcal{T}$ iperpiani affini di $\mathcal{A}$; allora

\begin{displaymath}\mathcal{S} \parallel \mathcal{T}\;\;\Leftrightarrow\;\;\lq\lq \ma......x{oppure}\;\;\mathcal{S} \cap \mathcal{T} = \emptyset \mbox{''}\end{displaymath}



DIMOSTRAZIONE
) È vera in generale.
) Se allora ; rimane da dimostrare
Se poniamo e abbiamo quindi per ipotesi che ; trattandosi di iperpiani vettoriali di si vede subito che (dalla formula di Grassmann vettoriale ad esempio).
Allora potremo scrivere con e .
Ancora una volta la figura ci suggerisce dove trovare un punto in :
sia e .
Affermiamo che e cosí possiamo concludere: .

Nella figura $\mathbf{U}$ e $\mathbf{W}$ sono 2 rette vettoriali distinte in un piano vettoriale e quindi sono somma diretta; per cui $\mathbf{u}$ e $\mathbf{w}$ sono univocamente determinati e da questo deriva l'unicità del punto di intersezione di $\mathcal{S}$ e $ \mathcal{T}$ suggerita da quella figura.
In generale $\mathbf{U}$ e $\mathbf{W}$ non saranno somma diretta e la possibilità di scegliere con una certa libertà $\mathbf{u}$ e $\mathbf{w}$ permette di trovare piú punti distinti in $\mathcal{S} \cap \mathcal{T}$.

7. ESERCIZI Negli esercizi si generalizza la proposizione precedente a sottospazi arbitrari. vai agli esercizi

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