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Nella proposizione seguente si enuncia il V postulato di Euclide o postulato delle parallele per un arbitrario spazio affine (e un arbitrario sottospazio!); ciononostante la prova è banale:

8. PROPOSIZIONE   V POSTULATO DI EUCLIDE
Sia $\mathcal{A}$ spazio affine su e sia sottospazio affine; sia e ; allora sottospazio affine tale che:
  1.   
  2.    $\mathsf{dim}\mathcal{T}=d$
  3.    $\mathcal{S} \parallel\mathcal{T}$


DIMOSTRAZIONE Se $\mathsf{giac}\mathcal{S}=:\mathbf{U}$ basterà porre $\mathcal{T}:=\mathsf{S}(R,\mathbf{U})$.


Abbiamo dimostrato senza sforzo il V postulato di Euclide per uno spazio affine astratto in particolare per il piano ordinario. Probabilmente è noto che l'introduzione di tale proposizione tra i postulati scelti per gettare le fondamenta di uno studio rigoroso della geometria del piano ordinario è stata controversa e dibattuta per secoli: parecchi pensarono di aver dimostrato il V postulato ma si scoprí prima o poi sempre un errore.
Com'è possibile che ora noi quasi istantaneamente riusciamo là dove tanti hanno fallito?
Probabilmente il lettore ha già capito dove risiede l'apparente contraddizione: il problema della dimostrazione del V postulato di Euclide è relativo alla scelta degli assiomi di partenza: con i nostri assiomi di spazio affine esso diviene una affermazione semplicemente dimostrabile, relativamente agli (altri) assiomi classici di piano ordinario non è piú cosí; in effetti si è dimostrato che esso è indipendente dagli altri assiomi classici di piano ordinario cosicché esso deve venire aggiunto a questi se vogliamo ottenere un "ambiente" in cui poter affermare la sua validità -cosí come suggerito dall'intuizione geometrica.

9. ESERCIZI Nell'esercizio proposto, utilizzando le nozioni fin qui acquisite, si mostra che tutti i "fasci di sottospazi paralleli" hanno la stessa cardinalità. vai agli esercizi

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