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spazio affine su 
e siano
sottospazi affini di
della stessa
dimensione. Vale:
In altre parole due sottospazi sono paralleli se e solo se esiste una traslazione che porta l'uno sull'altro.
DIMOSTRAZIONE
)
È il contenuto di lemma 3.
)
Sia
e
.
Poniamo
;
affermiamo che
.
)
Sia 
,
cioè
, vorremmo
ossia
e questo è vero in quanto
.
)
Se 
,
cioè 
,
vorremmo trovare
tale che
,
cioè
.
La figura ci suggerisce di prendere
tale che
(tale
esiste unico e sta in
dato che
).
Resta da dimostrare che
e questo è vero in quanto
.
Nella proposizione precedente abbiamo determinato una traslazione che porta
su
;
essa è stata determinata come
ove 
erano punti per cui passavano
e
;
la natura di questi punti non è particolare, quindi come le figure ci suggeriscono una qualsiasi coppia di punti, l'uno in
e l'altro in
,
determina una traslazione che porta
su
;
essa quindi non è in generale univocamente determinata (qual è l'unico caso in cui lo è? perché?)
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