Come abbiamo mostrato, questo tipo di cifrario , e cioè un cifrario a traslazione, è facilmente attaccabile; un modo per aumentarne la sicurezza è quello di passare ai cifrari affini.
Si tratta questa volta di considerare una funzione fk per la cifratura t.c. : x↦αx+β(mod 26) con α,β ∈ ℤ26 e MCD(α, 26) = 1; poichè α è unità avrà un inverso moltiplicativo e quindi la funzione di decifrazione gk sarà t.c. y↦α−1(y-β).
Si osservi che la condizione MCD(α,26)=1 è necessaria per avere l’iniettività della fke per poter calcolare quindi la funzione di decifrazione gk; mostriamo infatti un esempio in cui mancando questa ipotesi sul MCD, viene a meno l’iniettività di fk:
siano α = 13 e β = 4 cioè la nostra fksarà: x↦13x + 4; allora si avrà:

input↦errer
alter↦errer

Proprio per ovviare a questo problema si è aggiunta l’ipotesi MCD(α, 26) = 1 infatti si possono dimostrare i seguenti teoremi:

Teorema 3.1.1. Siano a,b ∈ ℤ t.c. MCD(a,b) = 1; se ∃x,y ∈ ℤ t.c. bx ≡ by (mod a), allora x ≡ y (mod a)

Dimostrazione:

Teorema 3.1.2. Sia f:I → I, con I intervallo di ℝ t.c. f(x)=αx + β con α,β ∈ ℤ; f è iniettiva (mod k), k ∈ ℕ ⇔ MCD(α,k) = 1

Dimostrazione:

Quindi in conclusione la chiave di questi cifrari affini è una coppia (α,β) con α,β ∈ ℤ26; β può assumere 26 valori mentre α deve essere t.c. MCD(α,26)=1, cioè α deve appartenere a ℤ26∗ e poichè |ℤ26∗|=ϕ(26) (con ϕ=funzione indicatrice di Eulero)=(13-1)(2-1)=12.
In totale si avranno quindi 12*26=312 possibili chiavi. Valutiamo ora come sia possibile attaccare questo codice: per quanto detto nelle righe precedenti le possibili chiavi totali sono 312, quindi possedendo solo il testo cifrato, il miglior modo per provare a decifrarlo è far svolgere al computer la prova per queste 312 chiavi (compito che il computer svolge in maniera semplice).



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