Per definizione

$\mathrm{<i>f</i>}$ è iniettiva (mod $k$) $\iff$ ($\forall x,z\in$ $I$ t.c. $f\left(x\right)\equiv f\left(z\right)$ (mod $k$) $\Rightarrow x\equiv z$ (mod $k$))
$\iff$($\forall x,z\in$ I t.c. $\alpha x+\beta$ $\equiv$ $\alpha z+\beta$ (mod $k$) $\Rightarrow x\equiv z$ (mod $k$))
$\iff$($\forall x,z\in$ I t.c. $\alpha x$ $\equiv$ $\alpha z$ (mod $k$) $\Rightarrow x\equiv z$ (mod $k$)).

Per il teorema di cui sopra se MCD($\alpha$, $k$)=1 allora $\mathrm{<i>f</i>}$ è iniettiva.

Viceversa supponiamo che $\mathrm{<i>f</i>}$ sia iniettiva, allora vogliamo provare che MCD($\alpha ,k$)=1, che è equivalente a provare che $\alpha$ (mod $k$) non è uno 0-divisore; supponiamo per assurdo che $\alpha$ sia uno 0-divisore allora

t.c. $\alpha \cdot d$=0,
ma questo $\mathrm{<i>d</i>}$ lo posso vedere come e cioè

$\alpha x$ $\equiv$ $\alpha z$ (mod $k$) $\nRightarrow x\equiv z$ (mod $k$)
ma questo è assurdo poichè avevamo supposto $\mathrm{<i>f</i>}$ iniettiva, allora $\alpha$ non è uno 0-divisore cioè MCD($\alpha ,k$)=1. □