Sia K un campo. Vogliamo studiare l’anello K[x].

Valgono tutte le definizioni date per i polinomi a coefficienti in un anello commutativo.

Segue dalla proposizione 29 che le unità in K[x] sono le costanti non nulle , ossia i polinomi di grado zero.

Un fatto importantissimo è che si dimostra che K[x] è un anello euclideo. Questo segue dal:

Lemma di divisione per i polinomi:

Siano f(x) e g(x) due polinomi in K[x], con f(x) diverso dal polinomio nullo.

Esistono due polinomi q(x) ed r(x) in K[x], con deg(r(x)) < deg(f(x)) tali che:

g(x) = q(x)f(x) + r(x).

Inoltre q(x) ed r(x) sono univocamente determinati da f(x) e g(x).

OSSERVAZIONE:

Siano f(x) e g(x) due polinomi in Z[x] tali che f(x) = q(x)g(x) + r(x), con deg(r(x)) < deg(g(x)). Allora:

l’ideale (f(x)) + (g(x)) = (f(x), g(x)) = (g(x), r(x))

Corollario 4:

L’anello K[x] è un dominio euclideo.

Proposizione 30:

Ogni polinomio non nullo in K[x] è associato ad un unico polinomio monico.

In particolare due polinomi monici sono associati se e solo se sono uguali.

Valgono quindi tutti i risultati provati per gli anelli euclidei.