Dimostrazione

unicità di q(x) ed r(x) : supponiamo che:

g(x) = q(x)f(x) + r(x) = q¹(x)f(x) + r¹(x), con deg(r(x)) < deg(f(x)) e deg(r¹(x)) < deg(f(x)).

In questo caso r(x) - r¹(x) = (q(x) - q¹(x))f(x),

e quindi deg(r(x) - r¹(x)) = deg(q(x) - q¹(x)) + deg(f(x)), per la proposizione 28.

il che contraddice la disuguaglianza

Esistenza di q(x) ed r(x) : per induzione su deg(g(x)).

· Se g(x) = 0 possiamo prendere q(x) = r(x) = 0;

· Se deg(g(x)) = 0 possiamo distinguere due casi:

1. se deg(f(x)) = 0, f(x) è una costante non nulla e quindi invertibile per la proposizione 29.

Poniamo allora r(x) = 0 e q(x) = g(x)f ^–1(x);

2. se deg(f(x)) > 0 allora si può porre q(x) = 0 ed r(x) = g(x).

· Supponiamo ora che il lemma valga quando deg(g(x)) < d e assumiamo che deg(g(x)) = d.

Poniamo s = deg(f(x)).

1. Se s > d prendiamo q(x) = 0 ed r(x) = g(x);

chiamiamo c il quoziente tra il coefficiente direttore di g(x) e il coefficiente direttore di f(x).

Allora il polinomio cx^{d – s}f(x) avrà grado d e il coefficiente direttore uguale al coefficiente direttore di g(x).

Ne segue che il polinomio g¹(x)= g(x) - cx^{d – s}f(x) ha grado minore di d e perciò, per ipotesi induttiva,

esistono q¹(x) ed r(x) in K[x] con g¹(x)= q¹(x)f(x) + r(x) e deg(r(x)) < deg(f(x)).

Allora : g(x) = g¹(x)+ cx^{d – s}f(x) = (q¹(x)+cx^{d –s}) f(x) + r(x). (c.v.d.)