DEFINIZIONE 32:
Sia f(x)
un polinomio non nullo dell’anello A[x].
Il più grande numero intero non
negativo d tale che:
si chiama il grado di f(x) e si denota con deg(f(x)).
L’elemento ad di A è
detto coefficiente direttore di f(x).
Un polinomio non nullo con
coefficiente direttore uguale a 1 si chiama polinomio monico.
Il grado di un polinomio nullo si
pone per convenzione uguale a -.
Un polinomio si dice lineare se ha grado 1.
Si dice quadratico se ha grado
2.
Vogliamo ora definire la somma e
il prodotto in modo tale che A[x] divenga un anello commutativo
contenente A come sottoanello.
DEFINIZIONE 34:
Siano f(x) = a0 + a1x
+ a2x2 +…+ anxn
+… e g(x)
= b0 + b1x + b2x2
+…+ bnxn +…
due polinomi a coefficienti in A.
La somma f(x) + g(x) = (a0
+ b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x2
+ (a3 + b3)x3 + …
Il prodotto f(x)g(x) =
(a0b0) + (a1 b0 + a0 b1)x + (a2 b0 + a1 b1
+ a0 b2)x2
+ (a3 b0 + a2 b1 + a1 b2
+ a0 b3)x3
+ …
Più formalmente:
(f(x) + g(x))N = aN + bN
;