DEFINIZIONE 30:
Sia A un anello commutativo unitario.
Per anello dei polinomi nella variabile x su A, da denotarsi con A[x], si intende l’insieme dei simboli
formali :
f(x)
= a0 + a1x + a2x2
+…+ anxn +… ,
dove a0, a1,
a2, … sono elementi di A
tali che solo un numero finito di essi è diverso da zero.
L’elemento ai si
chiama coefficiente di grado i di f(x).
OSSERVAZIONE:
Due polinomi f(x)
= a0 + a1x + a2x2
+…+ anxn +…
e g(x) = b0 + b1x
+ b2x2 +…+ bnxn
+…
si dicono uguali se e soltanto se
Seguiremo la convenzione di
omettere i termini del tipo 0xi
e di scrivere xi al posto
di 1xi.
- Un
polinomio con i coefficienti tutti nulli si indica semplicemente con 0 e
si chiama polinomio nullo.
- Un
polinomio che abbia tutti i coefficienti di grado positivo nulli si dice costante e si può pensare come un
elemento di A.
- Un
monomio è un
polinomio che ha solo un termine non nullo.
- Si possono anche considerare espressioni del tipo a0 + a1x + a2x2 +…+ anxn +… senza imporre
la condizione che ai = 0 se i è abbastanza grande. Tali espressioni si dicono serie di potenze, e formano anch’esse
un anello chiamato anello delle serie formali che si indica con A[[x]].
- I polinomi in Z[x], Q[x], R[x] e C[x] si diranno
rispettivamente polinomi interi,
razionali, reali e complessi.
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