DEFINIZIONE 1:

 

Un insieme non vuoto A è un anello associativo se in A sono definite due operazioni:

 

+ :          addizione o somma;

      * :      moltiplicazione o prodotto

 

              tali che per ogni a, b, c in A:

 

1.      a + b è un elemento di A;

2.      a + b = b + a;

3.      (a + b) + c = a + (b + c);

4.      esiste in A un elemento 0 tale che a + 0 = a     (0 è detto elemento neutro) ;

5.      esiste in A un elemento –a  tale che a + (-a) = 0    (- a è detto opposto additivo);

6.      a * b sta in A;

7.      (a * b) * c = a * (b * c);

8.      a * (b + c) = a * b + a * c  e  (b + c) * a = b * a + c * a    (le due leggi distributive).esempi

 

 

 

 

Da questo momento in avanti useremo la convenzione di scrivere ab anziché a * b per una questione di comodità.

 

 

OSSERVAZIONI:

 

·        La principale differenza fra un anello ed un gruppo è quindi il fatto di essere una struttura con due operazioni anziché una.

 

·        Gli assiomi da 1. a 5. dicono che A è un gruppo abeliano rispetto all’addizione.

      Gli assiomi 6. e 7. affermano che A è chiuso rispetto all’operazione di moltiplicazione che è associativa.

      L’assioma 8. lega fra loro le due operazioni.

 

·        E’ molto importante tenere presente che esistono anche anelli non associativi, per i quali non vale la proprietà 7.

 

·        Può anche accadere che esista in A un elemento 1 (detto unità)  tale che:

 

a * 1 = 1 * a = a per ogni a appartenente ad A.

 

Se tale elemento esiste chiameremo A anello unitario.

 

·        L’anello A si dirà commutativo se:   a * b = b * a    per ogni a, b in A.

 

        DEFINIZIONI:

 

1.      Se 01 e 11 sono altri due elementi di un anello commutativo A tali che per ogni a in A

 

a + 01 = a  ed a11 = a allora   0 = 0 + 01 = 01  e  1 = 1 * 11 = 11

                        

                          Tutto questo significa che lo zero e l’identità sono univocamente determinati dalla somma e dal prodotto.

 

2.      Esiste una nozione più generale di anello in cui non si assume che la moltiplicazione sia commutativa.

 

Lemma 1:

 

Sia A un anello.Allora per ogni a, b in A valgono le seguenti proprietà:

1.      a0 = 0a = 0;

 

2.      a(-b) = (-a)b = -(ab);

 

3.      (-a)(-b) = ab;

 

Se A è un anello unitario si ha anche che:

4.      (-1)a = -a;

 

5.      (-1)(-1) = 1.

dimostrazione

 

 

Grazie a questo lemma siamo ora in grado di lavorare con negativi e zero così come eravamo abituati a fare con gli interi.

Per semplicità di notazione d’ora in avanti scriveremo a - b al posto di a + (-b).

Abbiamo così visto come gli anelli costituiscano una diretta generalizzazione degli interi. Ma certi fatti aritmetici a cui eravamo abituati nell’anello degli interi non sono necessariamente validi in un anello qualsiasi. Ad esempio è possibile avere un anello A in cui :

               ab = 0, a, b appartenenti ad A  senza che né a né b siano nulli (a e b in questo caso si dicono divisori dello zero).

 

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