ESEMPI:

1. L’anello delle matrici M_n,n(A) è un anello non commutativo.

Consideriamo, ad esempio, l’anello M delle matrici 2 x 2 a coefficienti in R. Siano

Se M fosse commutativo dovrebbe valere:

AB = BA.

Invece vediamo che:

2. L’insieme degli interi Z, dei razionali Q, dei reali R con le solite operazioni di addizione e moltiplicazione

sono tutti degli anelli commutativi con unità;

3. L’anello nullo che ha lo zero come unico elemento è anch’esso un anello commutativo;

4. L’insieme dei naturali N con le usuali operazioni di addizione e moltiplicazione non ha la struttura di anello

perché in N manca l’opposto additivo;

5. Sia A l’insieme degli interi pari rispetto alle ordinarie addizione e moltiplicazione. A è un anello

commutativo, ma non ha l’elemento unità;

6. Z_m è un anello unitario commutativo con m elementi, dove addizione e moltiplicazione sono definite come segue:

Z_m = { [ i]_m, i = 0,…, m – 1}

+: [ i ] _m + [ j ] _m = [ k ] _m, dove k è il resto di [ i ] _m + [ j ] _m nella divisione per m;

*: [ i ] _m [ j ] _m = [ h ] _m, dove h è il resto di [ i ] _m[ j ] _m nella divisione per m.

7. Sia

Definiamo:

.

Introduciamo in C un’addizione, definendo per

.

Si può notare che in questo modo X + Y è un elemento di C

Così C risulta essere un gruppo abeliano rispetto all’operazione ora definita con:

(0, 0) elemento neutro

e

.

Per rendere C un anello occorre introdurre la moltiplicazione che possiamo ottenere definendo:

.

Si osservi che: XY = YX.

Inoltre:

X * (1, 0) = (1, 0) * X = X.

Dunque (1, 0) non è altro che l’elemento unità per C.

Abbiamo in questo modo costruito un anello C commutativo e unitario.(Notare che questo anello è
isomorfo all'anello C dei numeri complessi).