ESEMPI:

1.      L’anello delle matrici  Mn,n(A)  è un anello non commutativo.

Consideriamo, ad esempio, l’anello M  delle matrici 2 x 2 a coefficienti in R. Siano

 

 

Se M fosse commutativo dovrebbe valere:

 

AB = BA.

 

Invece vediamo che:

 

 

 

2.      L’insieme degli interi Z, dei razionali Q, dei reali R con le solite operazioni di addizione e moltiplicazione

      sono tutti degli anelli commutativi con unità;

 

3.      L’anello nullo che ha lo zero come unico elemento è anch’esso un anello commutativo;

 

4.      L’insieme dei naturali N con le usuali operazioni di addizione e moltiplicazione non ha la struttura di anello

               perché in N manca l’opposto additivo;

 

5.      Sia A l’insieme degli interi pari rispetto alle ordinarie addizione e moltiplicazione. A è un anello

      commutativo, ma non ha l’elemento unità;

 

6.      Zm è un anello unitario commutativo con m elementi, dove addizione e moltiplicazione sono definite come segue:

 

                     Zm = { [ i]m, i = 0,…, m – 1}    

*  

*   +: [ i ] m + [ j ] m = [ k ] m,  dove k è il resto di  [ i ] m + [ j ] m  nella divisione per m;

      *: [ i ] m [ j ] m = [ h ] m,  dove h è il resto di [ i ] m[ j ] m nella divisione per m.

 

7.      Sia

                     

       

 Definiamo:

.

 

Introduciamo in C un’addizione, definendo per

 

.

 

Si può notare che in questo modo X + Y  è un elemento di C

 

Così C risulta essere un gruppo abeliano rispetto all’operazione ora definita con:

(0, 0) elemento neutro

 e

.

               Per rendere C un anello occorre introdurre la moltiplicazione che possiamo ottenere definendo:

 

.

             

               Si osservi che: XY = YX.

               Inoltre:

 

X * (1, 0) = (1, 0) * X = X.

 

               Dunque (1, 0) non è altro che l’elemento unità per C.

 

               Abbiamo in questo modo costruito un anello C commutativo e unitario.(Notare che questo anello è
               isomorfo all'anello C dei numeri complessi).