Proposizione 7:
Sia f un omomorfismo di anelli. Allora:
- l’immagine Im(A) è un sottoanello di B;
- il
nucleo Ker(f) è un ideale di
A.
APPROFONDIMENTO:
Proposizione:
Sia K un campo e sia A un anello non nullo.
Ogni omomorfismo di anelli
Un isomorfismo di anelli è un omomorfismo di
anelli
Due anelli A e B
sono isomorfi se esiste un isomorfismo F da A a B.
Come per i gruppi abeliani, si ha che:
- L’identità
da un anello a se stesso è un isomorfismo;
- L’inverso
di un isomorfismo è pure un isomorfismo;
- La
composizione di due isomorfismi è ancora un isomorfismo.
Ne segue che la relazione di
isomorfismo tra due anelli è una relazione di equivalenza.
Due anelli isomorfi sono, in un
certo senso, “uguali”; differiscono solo nel modo di denotare gli elementi.
L’isomorfismo ci offre la chiave
per denotare gli elementi, e per mezzo di esso, conoscendo un dato calcolo in
un anello possiamo
operare il calcolo analogo nell’altro. Quindi non è solo importante sapere se due anelli sono isomorfi, ma è importante conoscere
l’isomorfismo.
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