Come abbiamo visto nello studio dei gruppi, la nozione di omomorfismo è essenziale per lo sviluppo di una significativa teoria di queste strutture.
Vediamo come è possibile dare una definizione analoga anche per gli anelli:
DEFINIZIONE 16:
Siano A e B due anelli . Un omomorfismo di anelli da A a B è una funzione
che soddisfa le seguenti proprietà:
- f è un omomorfismo di gruppi abeliani, cioè:
- per ogni x e y appartenenti ad A f(xy) = f(x)f(y);
Da notare che le operazioni + e * che compaiono al primo membro nelle relazioni 1. e 2. sono le operazioni di A,
mentre quelle che compaiono al secondo membro sono le operazioni di B.
Inoltre, per quel che riguarda l’addizione si conservano tutte le proprietà degli omomorfismi tra gruppi già viste.
Mettiamo, infine, l’accento sul fatto che se A e B sono entrambi dotati di elemento unità per la moltiplicazione,
non è detto che f(1) = 11, con 1 unità di A e 11 unità di B. Tuttavia, se B è un dominio di integrità, oppure se B è arbitrario,
ma f è
suriettiva, allora f(1) = 11.
Sia f è un omomorfismo di
anelli da A a B, si dice nucleo di f, indicato
con Ker(f), è definito nel modo seguente:
dove 0 è l’elemento neutro di B.
Lemma 3:
Sia f un omomorfismo di anelli.
f è iniettivo
se e solo se Ker(f) = 0.
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