Notiamo che, dato un anello non c’è nessuna garanzia che esso contenga ideali massimali, inoltre dato un anello, esso può contenere anche più di un ideale massimale, come accade, per esempio, nell’anello degli interi.esempi

 

 

 

        APPROFONDIMENTO:

 

Un campo (o corpo commutativo) è un anello commutativo non nullo in cui ogni elemento diverso da zero è invertibile.

 


 

 

Ma non è detto che valga il viceversa; infatti, ad esempio, Z è un dominio di integrità senza essere un campo.

 

 

 

 

Proposizione 6:

 

Sia M un ideale di un anello commutativo unitario A.

 

M è un ideale massimale se e solo se A/M è un campo.

 

 

OSSERVAZIONI:

  

 

Se I è un ideale massimale allora I è anche un ideale primo.

 

Infatti: I è un ideale massimale se e solo se A/I è un campo. Quindi  A/I è un dominio di integrità se e solo se I è un ideale primo.

 

 

 

(a)è primo (massimale) se e solo se a è un divisore primo di m.

dimostrazione

 

 

 

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