Notiamo che, dato un anello non c’è nessuna garanzia che esso contenga ideali massimali, inoltre dato un anello, esso può contenere anche più di un ideale massimale, come accade, per esempio, nell’anello degli interi.

APPROFONDIMENTO:

Un campo (o corpo commutativo) è un anello commutativo non nullo in cui ogni elemento diverso da zero è invertibile.

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• Un campo è in particolare un dominio di integrità visto che un’unità non è mai un divisore dello zero.

Ma non è detto che valga il viceversa; infatti, ad esempio, Z è un dominio di integrità senza essere un campo.

• Sia A è un anello commutativo unitario che abbia come unici ideali (0) e A stesso. Allora A è un campo.

Proposizione 6:

Sia M un ideale di un anello commutativo unitario A.

M è un ideale massimale se e solo se A/M è un campo.

OSSERVAZIONI:

• Sia I un ideale di un anello commutativo unitario A.

Se I è un ideale massimale allora I è anche un ideale primo.

Infatti: I è un ideale massimale se e solo se A/I è un campo. Quindi A/I è un dominio di integrità se e solo se I è un ideale primo.

• Sia Z _m un anello commutativo e a un elemento di Z _m.

(a)è primo (massimale) se e solo se a è un divisore primo di m.