Un ideale
I in un anello commutativo A è un sottogruppo
I di A tale che:
per ogni a appartenente ad A e per
ogni s in I,
sia il prodotto as che sa appartengono ad I.
Un ideale si dice proprio se è proprio come sottogruppo di A, cioè se
I 
A.
La moltiplicazione di classi di congruenza modulo un sottogruppo S di un anello commutativo A è ben definita
se e solo se S è un ideale di A.
Dato un ideale I di un anello commutativo A il gruppo quoziente A/I con la moltiplicazione definita nella proposizione 3 è un anello.
A/I è detto anello quoziente e l’unità è rappresentata da 1 + I.
Vediamo come l’anello quoziente sia in effetti un anello
commutativo. Definiamo innanzitutto l’addizione e la moltiplicazione in A/I,
che è costituito dai laterali a + I,
dove a è un elemento di A:
+ : (a + I) + (b + I) = (a + b) + I.
A/I è un gruppo additivo.
* : (a + I)(b + I) = (ab) + I.
Come abbiamo visto nella proposizione 3 la moltiplicazione è ben definita, essendo I un ideale di A.
A questo punto resta da dimostrare i vari assiomi che definiscono un anello.Verifichiamo solo la legge distributiva, visto che le altre
si assomigliano tutte:
legge
distributiva a destra:
Siano X =(a + I), Y = (b + I), Z = (c + I) tre elementi di A/I, con a, b, c appartenenti ad A:
(X + Y)Z = ((a + I) + (b + I))(c + I) = ((a + b) + I)(c + I) = (a + b)c + I =
= ac + bc + I = (ac + I) + (bc + I) = (a + I)(c + I) + (b + I)(c + I) = XZ + YZ.
E’ chiaro che se A è un anello commutativo, anche A/I lo è. Infatti:
(a + I)(b + I) = ab + I = ba + I = (b + I)(a + I).
Non è vero il viceversa.
OSSERVAZIONI:
- In ogni
anello commutativo i sottogruppi banali 0 ed A sono ideali .
- L’anello quoziente A/I è nullo se e solo se I = A.
|
|
