Sia I un ideale in un anello commutativo unitario A. Le seguenti condizioni sono equivalenti:
- I = A;
- 1 è un elemento di I;
- I contiene un elemento
invertibile.
DEFINIZIONE 11:
Sia a un elemento di un anello commutativo A. L’ideale generato da a è l’insieme dei multipli di a, cioè:
- Si vede che l’ideale generato da a è un ideale ed è contenuto in ogni ideale contenente a. Si tratta quindi del più piccolo
ideale che contiene a.
Da notare la differenza tra il sottogruppo generato da un elemento a di un anello A e l’ideale (a) generato da a.
In generale, se m 
Z allora ma
= (m1)a, e quindi
ma per esempio in Q si ha che il sottogruppo generato da 1 da tutto Z, che è contenuto in Q, mentre (1) = Q.
Se A = Z allora si ha che
Sia I un ideale di A. Un ideale si dice principale se:
Ad esempio, in Z ogni ideale è principale poiché ha la forma (m) per un unico m maggiore o uguale a 0.
Gli anelli in cui ogni ideale è principale formano una
classe speciale di anelli che tratteremo più avanti: gli anelli euclidei.
Proposizione 4:
Sia a un elemento di un anello commutativo A.
Allora a è invertibile se e solo se (a) = A.
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