Lemma 2:

 

Sia I un ideale in un anello commutativo unitario A. Le seguenti condizioni sono equivalenti:

 

  1. I = A;

 

  1. 1 è un elemento di I;

 

  1. I contiene un elemento invertibile.

    dimostrazione

 

 

 

 

        DEFINIZIONE 11:

 

Sia a un elemento di un anello commutativo A.  L’ideale generato da a è l’insieme dei multipli di a, cioè:

 

 


 

 

 

            ideale che contiene a.

 

 

Da notare la differenza tra il sottogruppo generato da un elemento a di un anello A e l’ideale (a) generato da a.

In generale, se m  Z allora ma = (m1)a, e quindi

 ma per esempio in Q si ha che il sottogruppo generato da 1 da tutto Z, che è contenuto in Q, mentre (1) = Q.

Se A = Z allora si ha che 

 

 

        DEFINIZIONE 12:

 

Sia I un ideale di A. Un ideale si dice principale se:

 

 


 

 

 

Ad esempio, in Z ogni ideale è principale poiché ha la forma (m) per un unico m maggiore o uguale a 0.

 

Gli anelli in cui ogni ideale è principale formano una classe speciale di anelli che tratteremo più avanti: gli anelli euclidei.

 

 

Proposizione 4:

 

Sia a un elemento di un anello commutativo A. Allora a è invertibile se e solo se (a) = A.

dimostrazione

 

 



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