Si può anche definire l’ideale generato da un numero qualsiasi di elementi in questo modo:

Si può anche definire l’ideale generato da un numero qualsiasi di elementi in questo modo:

 

    Siano a1, ..., an  elementi di un anello commutativo A. L’ideale generato da a1, ..., an è l’insieme delle "combinazioni lineari" di a1, ..., an:

 

 

Si ha che (a1, ..., an) è un ideale ed è contenuto in qualsiasi ideale che contiene tutti gli a1, ..., an.

 

 

        DEFINIZIONE 13:

 

Sia I un ideale di un anello commutativo unitario A. L’ideale I è detto radicale se:

 

.

 


 

 

 

        DEFINIZIONE 14:

 

Sia I un ideale di A. L’ideale I è detto primo se:

 

esempi



 


 

Proposizione 5:

 

Sia I un ideale di un anello commutativo A.

 

I è primo se e solo se A/I è un dominio di integrità.

dimostrazione

 

 

 

 

        DEFINIZIONE 15:

 

Sia I A un ideale di un anello commutativo A. I è detto massimale se per ogni J, ideale di A, tale che :

 

 si ha I = J oppure J = A.

 


 

 

In altre parole questa definizione dice che un ideale è massimale quando non è possibile inserire un altro ideale tra esso e l’anello.

 



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