DEFINIZIONE 5:

DEFINIZIONE 5:

 

Sia A un anello commutativo. Un elemento a di A si dice invertibile (oppure un unit) se:

 

esiste b appartenente ad A tale che ab = 1. esempi



 


 

Proposizione 2:

 

In un anello commutativo un elemento invertibile non un divisore dello zero.

dimostrazione

 

 

 

Osserviamo che se un elemento a di A invertibile, e quindi se esiste b in A tale che ab = 1, tale b unico.

Infatti se ab = 1 = ab1 allora b =b1.

 

Tale b detto inverso e si denota con a-1.

 

 

Se due elementi a e b di un anello commutativo A sono invertibili allora anche il loro prodotto lo e:

(ab)-1 = a-1b-1.

 

Questo si vede dal fatto che aba-1b-1= aa-1bb-1=1.

 

Per induzione su n vediamo che se n Z+ ed a invertibile allora an invertibile e si ha:

(an) -1 = (a-1)n.

A questo punto possiamo definire an per qualsiasi intero n; cio:

 

Valgono le solite regole di calcolo per gli esponenti.

 



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