Proposizione 10:
Se a e b sono
associati, allora a è irriducibile se e solo se b è irriducibile.
Siano a e b elementi
di un dominio A. Allora:
- a
/b se e solo se
- a
e b sono associati se e solo se (a) = (b).
Un anello
euclideo , o dominio
euclideo, è un dominio A tale che
esiste una funzione
con le seguenti proprietà:
- per
ogni coppia di elementi a e b di
A con a non nullo, esistono q ed r, sempre in A
tali che:
- se
a e b sono elementi di A
\{0}, allora
Osserviamo che nella definizione non si assume che q ed r siano unici, e in generale non lo sono.
Siano a e b elementi
di un dominio A. Un massimo comun
divisore di a e b è un elemento d
di A tale che:
- d divide sia a che b;
- se un elemento c divide sia a che b,
allora c divide d.
In generale in un dominio
qualsiasi il massimo comun divisore può non esistere e anche se esiste non è
detto che sia unico.
Siano a e b elementi
di un dominio A e sia d un loro massimo comun divisore.
Un altro elemento d1
in A è un massimo comun divisore se e solo se d e d1 sono associati.
Da questa proposizione segue che i
soli massimi comun divisori di a e b in Z sono gli elementi di Z
associati a d, ossia d e –d.
|
