ESEMPI:
- Per un intero a si ha che:
a è irriducibile in Z se e solo se esiste un primo p con a = p oppure a = - p.
Dimostrazione:
Essendo a associato a -a
in Z, dalla proposizione 10 segue che a è irriducibile se e solo
se –a è irriducibile.
Quindi possiamo assumere che a
sia positivo.
(
): supponiamo che a non sia irriducibile. Se a
=1 allora a è un’unità e non è primo. Assumiamo a > 1. Si può
scrivere a = bc, con b e c non invertibili. Possiamo assumere b e c positivi. Allora b > 1 e c > 1
e quindi a non è primo.
(
): supponiamo che p non sia primo. Allora p = bc,
con b e c non invertibili.
Essendo a
= p oppure a = - p, a non è irriducibile. (c.v.d.)