ESEMPI:

1

 

  1. Per un intero a si ha che:

 

a irriducibile in Z se e solo se esiste un primo p con a = p oppure a = - p.

 

Dimostrazione:

 

Essendo a associato a -a in Z, dalla proposizione 10 segue che a irriducibile se e solo se a irriducibile.

Quindi possiamo assumere che a sia positivo.

 

(): supponiamo che a non sia irriducibile. Se a =1 allora a ununit e non primo. Assumiamo a > 1. Si pu

scrivere a = bc, con b e c non invertibili. Possiamo assumere b e c positivi. Allora b > 1 e c > 1

e quindi a non primo.

 

(): supponiamo che p non sia primo. Allora p = bc, con b e c non invertibili.

Essendo a = p oppure a = - p, a non irriducibile. (c.v.d.)