OSSERVAZIONE :

La relazione di associazione è una relazione di equivalenza, ossia:

1. vale la proprietà riflessiva: ogni a è associato ad a;

2. vale la proprietà simmetrica: se a è associato a b allora b è associato ad a;

3. vale la proprietà transitiva: se a è associato a b e b è associato ad c allora a è associato ad c.

Inoltre se a è associato ad a₁ e b è associato ad b₁ allora (aa₁) è associato a (bb₁).

Proposizione 8:

Sia A un dominio e a e b due elementi di A.

1. a e b sono associati se e solo se a /b e b /a;

2. Se a e b sono associati e c sta in A, allora a /c se e solo se b /c. Inoltre c /a se e solo se c /b.

DEFINIZIONE 21:

Un elemento a di un anello A si dice irriducibile se sono soddisfatte le due condizioni seguenti:

1. a non è invertibile e a è non nullo;

2. se a = bc, allora o b o c sono invertibili.

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Proposizione 9:

Un elemento a di un dominio è irriducibile se e solo se non è 0 né un’unità

e vale la seguente proprietà:

ogni elemento di A che divide a è un’unità oppure è associato ad a.