Sia A un anello commutativo unitario. Quello che ci proponiamo di fare in questo capitolo è di introdurre in A una relazione di divisibilità analoga alla relazione di divisibilità tra gli interi.

DEFINIZIONE 19:

Siano a e b due elementi di un anello commutativo A.

Diciamo che a divide b, o che b è divisibile per a, o che a è un divisore di b, in simboli a / b, se:

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La relazione di divisibilità introdotta nella definizione 19 ha le seguenti proprietà:

Per ogni a, b, c di A:

1. se a /b e b /c, allora a /c;

2. se u è un elemento invertibile di A, allora u /b;

3. se a /1, allora a è invertibile;

4. a /0;

5. se 0 /b, allora b = 0;

6. se a /b e a /c, e s e t appartengono ad A, allora a / (sb + tc).

L’elemento sb + tc di A si chiama combinazione lineare di b e c;

7. se a /b e a /(b + c), allora a /c.

DEFINIZIONE 20:

Siano a e b due elementi di un anello commutativo unitario A. Diciamo che a e b sono associati se:

dove u è un’unità.

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Ad esempio in Z le unità sono +1 e -1, quindi due interi a e b sono associati in Z se e solo se a = b oppure a = - b.