Ogni ideale in un anello euclideo è principale.
DEFINIZIONE 24:
Un dominio di integrità A con unità si chiama anello a ideali principali se ogni ideali I di A è principale.
Abbiamo così dimostrato che un anello euclideo è un anello a ideali principali, mentre il viceversa è falso poiché vi possono essere anelli a ideali principali che non sono euclidei.
Proposizione 13:
Siano a e b due elementi di un anello euclideo A.
Allora un elemento d di A è un massimo comun divisore di a e b se e solo se d è un generatore dell’ideale (a, b).
In particolare ogni coppia di elementi di A ha un
massimo comun divisore.
Per dire che d è un massimo comun divisore di a e b, elementi di un dominio euclideo A, scriveremo (a, b) = (d).
Abbiamo dimostrato che in un dominio euclideo il massimo comun divisore di una coppia di elementi esiste sempre e in più è unico.
Come in Z, in un dominio euclideo qualsiasi il massimo comun divisore di due elementi a e b è una combinazione lineare di a e b.
In un anello euclideo A due elementi a e b si dicono relativamente primi se il loro massimo comun divisore è invertibile in A.
Poiché un associato ad un massimo comun divisore è ancora un massimo comun divisore e poiché 1 è associato ad
ogni elemento invertibile, se a e b sono
relativamente primo possiamo assumere (a, b) =1.
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