Proposizione 14:

Siano a, b, c elementi di un anello euclideo A, con a /bc.

1. Se (a, b) = 1 allora a /c;

2. Se a è irriducibile allora a /b oppure a /c.

Il massimo comun divisore di due elementi in un anello euclideo può essere calcolato tramite l’algoritmo euclideo.

Sia A un anello euclideo e siano a e b due elementi di A, con a non nullo. Allora

Allora ogni divisore comune di a e r₁ dividerà anche b essendo b una combinazione lineare di a e r₁.

Viceversa si ha che r₁ = b - q₁a e quindi ogni divisore comune di a e b dividerà anche r₁.

Ne segue che il massimo comun divisore di a e r₁ è anche il massimo comun divisore di a e b.

• Se r₁ = 0 allora a /b e quindi a è un massimo comun divisore di a e b.

Continuiamo in questo modo e cioè:

Allora dovremo raggiungere il punto in cui il resto è 0. Se r_m è l’ultimo resto diverso da 0,

allora r_m sarà il massimo comun divisore tra a e b.

Possiamo così generalizzare la proposizione 14 in questo modo:

Proposizione 15:

Se un elemento irriducibile a di un anello euclideo A divide un prodotto b₁…b_r di elementi di A,
allora divide almeno uno dei b₁, …, b_r.