Dimostrazione

1. Se (a, b) = 1 esistono s e t in A con sa + tb = 1. Moltiplicando per c si ottiene: c = sac + tbc.

Dal momento che a divide sia sac che bc deve dividere anche c.

2. Supponiamo che a sia irriducibile quindi a non è né un’unità, né 0.
   Sia (d) = (a, b) e assumiamo che a non divida b.

Dalla proposizione 9 segue che d è un’unità; infatti d divide a che è irriducibile,

quindi d è associato ad a oppure d è un elemento invertibile.

E’ però impossibile che d sia associato ad a perché d divide b mentre a non lo divide.

Allora d è un’unità, per cui (d) = (1).

A questo punto possiamo applicare il punto 1 per cui a /c. (c.v.d.)