In un anello euclideo ogni elemento non nullo che non è un’unità si può scrivere come prodotto di elementi irriducibili.

Tale scomposizione può però non essere unica: per esempio in Z si ha 6 = 2(3) = (-2)(-3).

In Z questo problema non si pone in quanto possiamo considerare gli interi positivi visto che gli elementi associati ad un intero a non nullo sono a e – a.

Proposizione 16:

Sia A un anello euclideo. Allora:

ogni elemento di A non invertibile si può scrivere come prodotto di un numero finito di elementi irriducibili di A.

Facciamo precedere alla dimostrazione della proposizione 16 il seguente:

Lemma 4:

Se b, c sono due elementi di A \{0} e c non è un’unità, allora

Dimostrazione del lemma 4.

Dimostrazione della proposizione16.

In verità l’esistenza di una scomposizione non è molto utile senza una forma di unicità.

Questa ci è garantita dal seguente:

TEOREMA 2:

Sia a un elemento non nullo e non invertibile di un anello euclideo A.

Allora a è associato ad un prodotto del tipo:

dove p₁, …,p_r sono elementi irriducibili tali che p_i non è associato a p_j se i è diverso da j.

Se a è associato ad un prodotto

allora r = s ed è possibile riordinare i q₁, …,q_r in modo tale che p_i sia associato a q_i e m_i = n_i per ciascun i = 1,…, r.

Proposizione 17:

L’ideale I = (a₀) è un ideale massimale in un anello euclideo A se e solo se a₀ è un elemento irriducibile di A^* .