Dimostrazione

Per la proposizione 16 è possibile scrivere a = l₁ …l_t, con l₁, …,l_t elementi irriducibili di A.

Scegliamo tra l₁, …,l_t degli elementi p₁, …,p_r tali che ciascun l₁, …,l_t è associato esattamente ad uno dei p₁, …,p_r .

Se m_i indica il numero dei l₁, …,l_t che è associato a p_i abbiamo che:

Per quanto riguarda l’unicità supponiamo che a sia associato a

dove sia i p₁, …,p_r che i q₁, …,q_s sono elementi irriducibili a due a due non associati.

Per la proposizione 8 avremo che ciascun p_i divide un q_j e quindi è associato ad esso.

Questo q_j è necessariamente unico perché i q_j sono a due a due non associati. Di conseguenza

Per la proprietà simmetrica della relazione di associazione abbiamo che:

Dopo aver permutato i q₁, …,q_s possiamo assumere che p₁ = q₁,…, p_r = q_r.

Vediamo ora che m_i = n_i per ciascun i = 1,…, r:

Supponiamo, per esempio, che m_i < n_i per un certo i tra 1 e r.

Semplificando il fattore , il che è possibile perché siamo in un dominio, otteniamo:

.

Quindi p_i divide il secondo membro essendo n_i - m_i > 0, ma non divide il secondo. Questo è impossibile. (c.v.d.)